Mostre que u(x, t) dado por
u(x, t)=sumn=1^infty An sen(n x) e^-n^2 t
satisfaz à equação do calor:
partial^2 upartial x^2=partial upartial t

Passo 1

O enunciado fornece a função
u(x,t)=sumn=1^inftyAnsin(nx),e^-n^2t
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação do calor
partial^2upartial x^2=partial upartial t
O conteúdo aqui é diferenciar termo a termo uma série em x e em t, usando ddxsin(nx)=ncos(nx) e ddte^-n^2t=-n^2e^-n^2t.

Passo 2

Calculamos primeiro partial^2upartial x^2 derivando termo a termo em x.
partial upartial x =sumn=1^inftyAn,partialpartial xl[sin(nx)e^-n^2tr] =sumn=1^inftyAn,ncos(nx),e^-n^2t,
de onde
partial^2upartial x^2 =sumn=1^inftyAn,partialpartial xl[ncos(nx)e^-n^2tr] =sumn=1^inftyAn,nl(-nsin(nx)r)e^-n^2t =sumn=1^inftyl(-Ann^2sin(nx)e^-n^2tr)

Passo 3

Agora derivamos termo a termo em t:
partial upartial t =sumn=1^inftyAnsin(nx),partialpartial tl[e^-n^2tr] =sumn=1^inftyAnsin(nx)l(-n^2e^-n^2tr) =sumn=1^inftyl(-Ann^2sin(nx)e^-n^2tr)

Passo 4

Observamos que as duas séries são idênticas:
partial^2upartial x^2 =sumn=1^inftyl(-Ann^2sin(nx)e^-n^2tr) e partial upartial t =sumn=1^inftyl(-Ann^2sin(nx)e^-n^2tr)

Resposta

Portanto
partial^2upartial x^2=partial upartial t,
ou seja, u(x,t) satisfaz a equação do calor.

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