Determine a derivada:
y=x arctg xcos 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x,arctan xcos(2x)
Aqui vamos usar a regra do quociente, a regra do produto para xarctan x e a regra da cadeia para cos(2x).

Passo 2

Definimos
u(x) = x,arctan x e v(x) = cos(2x)
Pela regra do quociente,
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)v(x)^2

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra do produto:
u'(x) = ddx[x];arctan x + x;ddx[arctan x] = 1cdotarctan x + xcdot11+x^2 = arctan x + x1+x^2

Passo 4

Calculamos v'(x) usando regra da cadeia:
v'(x) = ddx[cos(2x)] = -sin(2x)cdot 2 = -2,sin(2x)

Passo 5

Substituindo na fórmula do quociente:
y' = l(arctan x + tfracx1+x^2r)cos(2x) - x,arctan xl(-2sin(2x)r) cos^2(2x)

Passo 6

Distribuindo o sinal e simplificando o numerador:
y' = arctan x,cos(2x) + x,cos(2x)1+x^2 + 2x,arctan x,sin(2x) cos^2(2x) = arctan x + tfracx1+x^2 + 2x,arctan x,tan(2x) cos(2x)

Resposta

y' = arctan x + x1+x^2 + 2x,arctan x,tan(2x)cos(2x)

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