Considere a equação y^prime=lambda y, onde lambda neq 0 é uma constante real.
Mostre que se y=y(t), t in R, é uma solução dessa equação e z= y e^-lambda t, então z=y(0), forall t in R. Sugestão: Calcule dzdt.

Passo 1

O enunciado pede para a ODE
dydt = lambda,y, lambdaneq 0,
mostrar que, definindo
z(t)=y(t),e^-lambda t,
temos z(t)=y(0) para todo t. Para isso vamos calcular dzdt e usar a regra do produto.

Passo 2

Pela regra do produto,
dzdt =ddtl(y,e^-lambda tr) =y',e^-lambda t+y,ddtl(e^-lambda tr)

Passo 3

Como
ddtl(e^-lambda tr)=-lambda,e^-lambda t e y'=lambda,y,
substituímos na expressão de dzdt:
dzdt =(lambda y),e^-lambda t + y,(-lambda),e^-lambda t =0

Passo 4

O fato de dzdt=0 implica que z(t) é constante em t. Logo existe uma constante C tal que
z(t)=C, forall t

Passo 5

Para achar C, basta avaliar em t=0:
z(0)=y(0),e^0=y(0),
logo C=y(0) e
z(t)=y(0), forall tinR

Resposta

z=y(0) para todo t.

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