Supondo que n é maoir ou igual a 1 , resolva a equação
y^prime-n y / x=-x^n-2 cos (1 / x)
Encontre uma condição inicial para o qual a constante arbitrária seja zero.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - nx,y = -,x^n-2cos!l(tfrac1xr),
com n>=1. Este é um EDO linear, e vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral e depois determinar uma condição inicial que faça a constante arbitrária C valer zero.

Passo 2

Escrevemos na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
onde
P(x) = -nx, Q(x) = -,x^n-2cos!l(tfrac1xr)
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral -tfracnx,dxr) = x^-n

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu(x)=x^-n:
x^-ny' - n,x^-n-1y = -,x^-nx^n-2cos!l(tfrac1xr) = -,x^-2cos!l(tfrac1xr)
O lado esquerdo reconhece-se como derivada do produto:
ddxl(x^-nyr) = -,x^-2cos!l(tfrac1xr)

Passo 4

Integramos ambos os lados:
x^-ny = integral -,x^-2cos!l(tfrac1xr),dx + C
Para calcular integral -x^-2cos(1/x),dx, fazemos a substituição
u = tfrac1x, de onde du = -x^-2dx.

Passo 5

Com u=1/x obtemos
integral -x^-2cos!l(tfrac1xr),dx = integral cos(u),du = sin(u) + K = sin!l(tfrac1xr) + K
Logo
x^-ny = sin!l(tfrac1xr) + C Longrightarrow y = x^nsin!l(tfrac1xr) + C,x^n

Passo 6

Para que a constante C seja zero basta impor
y(x0) = x0^nsin!l(tfrac1x0r)
num ponto x0 do domínio. Por exemplo, escolhendo x0=1 e
y(1)=1^nsin!l(tfrac11r)=sin(1),
teremos C=0.

Resposta

Solução geral:
y = x^nsin!l(tfrac1xr) + C,x^n
A condição inicial que zera C é
y(x0)=x0^nsin!l(tfrac1x0r)
Por exemplo, y(1)=sin(1) implica C=0.

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