Determine o maior intervalo no qual essa solução é válida. Dica: Observe que a condição inicial impõe que 0 pertença a esse intervalo.
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial (PVI)
dydt=2,t,y^2, y(0)=1,
que é uma equação diferencial ordinária de variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis, integrar, aplicar a condição inicial e, por fim, determinar o maior intervalo em que a solução existe (ou seja, onde o denominador não zera e 0 pertence a esse intervalo).
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
dyy^2 = 2,t,dt
Agora integre ambos os lados:
integral dyy^2 = integral 2,t,dt
A primitiva de y^-2 é -y^-1, e a de 2t é t^2. Logo,
-,1y = t^2 + C,
onde C é a constante de integração.
Passo 3
Use a condição inicial y(0)=1. Em t=0 o lado esquerdo fica -1/y(0)=-1/1=-1, e o lado direito é 0^2+C=C. Assim,
-1 = C
Portanto, a relação completa é
-,1y = t^2 - 1
Passo 4
Resolva para y:
1y = 1 - t^2, ou y(t) = 11 - t^2
Para que y(t) seja bem definida, o denominador não pode ser zero, isto é, 1 - t^2 neq 0, ou seja, t neq pm 1. O maior intervalo aberto que contém 0 e fica livre dessas singularidades é
(-1,1)
Resposta
O maior intervalo de validade da solução com y(0)=1 é (-1,1).