Determine o modelo matemático para a corrente elétrica em um circuito em série do tipo
. Igualmente, determine o modelo matemático para a corrente elétrica em um circuito em série do tipo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o modelo matemático da corrente em dois tipos de circuito em série: primeiro um circuito RL e depois um circuito RLC. O conteúdo principal envolve aplicar a Lei de Kirchhoff de Tensões (KVL) e usar as relações constitutivas dos elementos (resistor, indutor e capacitor) para obter uma equação diferencial que descreve a corrente no tempo.
Passo 2
Em um circuito série RL temos apenas um resistor R e um indutor L alimentados por uma fonte de tensão v(t). Pela KVL, a soma das quedas de tensão em R e em L deve igualar v(t). Sabemos que a tensão no resistor é v_R(t)=R,i(t) e a tensão no indutor é v_L(t)=L,\frac{di}{dt}(t). Logo aplicando KVL:
Passo 3
Essa é a equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no circuito RL. Se quisermos, podemos reescrevê-la na forma padrão:
Passo 4
Agora, para o circuito série RLC temos um resistor R, um indutor L e um capacitor C em série, alimentados por v(t). Pela KVL, a soma das quedas de tensão em R, L e C é igual à tensão da fonte. As quedas são:
— Resistor: v_R(t)=R,i(t),
— Indutor: v_L(t)=L,\frac{di}{dt}(t),
— Capacitor: v_C(t)=\frac{1}{C}\int i(t),dt.
— Resistor: v_R(t)=R,i(t),
— Indutor: v_L(t)=L,\frac{di}{dt}(t),
— Capacitor: v_C(t)=\frac{1}{C}\int i(t),dt.
Passo 5
Somando e igualando a v(t) obtemos:
Passo 6
Para ter um modelo só em derivadas de i, derivamos essa equação uma vez em relação a t e usamos
. Assim chegamos à equação diferencial de segunda ordem:
Passo 7
Alternativamente, escrevendo em termos da carga q(t) com
, o modelo fica:
Resposta
Circuito RL série:
$$L,\frac{di}{dt}(t)+R,i(t)=v(t).
$$
Circuito RLC série (corrente):
$$L,\frac{d2i}{dt2}(t)+R,\frac{di}{dt}(t)+\frac{1}{C},i(t)=\frac{dv}{dt}(t).
$$