Determine o modelo matemático para a corrente elétrica em um circuito em série do tipo RL. Igualmente, determine o modelo matemático para a corrente elétrica em um circuito em série do tipo RLC.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o modelo matemático da corrente em dois tipos de circuito em série: primeiro um circuito RL e depois um circuito RLC. O conteúdo principal envolve aplicar a Lei de Kirchhoff de Tensões (KVL) e usar as relações constitutivas dos elementos (resistor, indutor e capacitor) para obter uma equação diferencial que descreve a corrente no tempo.

Passo 2

Em um circuito série RL temos apenas um resistor R e um indutor L alimentados por uma fonte de tensão v(t). Pela KVL, a soma das quedas de tensão em R e em L deve igualar v(t). Sabemos que a tensão no resistor é v_R(t)=R,i(t) e a tensão no indutor é v_L(t)=L,\frac{di}{dt}(t). Logo aplicando KVL:
R,i(t)+L,didt(t)=v(t)

Passo 3

Essa é a equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no circuito RL. Se quisermos, podemos reescrevê-la na forma padrão:
didt(t)+RLi(t)=v(t)L

Passo 4

Agora, para o circuito série RLC temos um resistor R, um indutor L e um capacitor C em série, alimentados por v(t). Pela KVL, a soma das quedas de tensão em R, L e C é igual à tensão da fonte. As quedas são:
— Resistor: v_R(t)=R,i(t),
— Indutor: v_L(t)=L,\frac{di}{dt}(t),
— Capacitor: v_C(t)=\frac{1}{C}\int i(t),dt.

Passo 5

Somando e igualando a v(t) obtemos:
R,i(t)+L,didt(t)+1Cintegral i(t),dt = v(t)

Passo 6

Para ter um modelo só em derivadas de i, derivamos essa equação uma vez em relação a t e usamos i(t)=dq/dt. Assim chegamos à equação diferencial de segunda ordem:
L,d^2idt^2(t)+R,didt(t)+1C,i(t)=dvdt(t)

Passo 7

Alternativamente, escrevendo em termos da carga q(t) com i=dq/dt, o modelo fica:
L,d^2qdt^2(t)+R,dqdt(t)+1C,q(t)=v(t)

Resposta

Circuito RL série:
$$L,\frac{di}{dt}(t)+R,i(t)=v(t).
$$
Circuito RLC série (corrente):
$$L,\frac{d2i}{dt2}(t)+R,\frac{di}{dt}(t)+\frac{1}{C},i(t)=\frac{dv}{dt}(t).
L,didt(t)+R,i(t)=v(t) L,\frac{d2q}{dt2}(t)+R,\frac{dq}{dt}(t)+\frac{1}{C},q(t)=v(t).
$$

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