Considere a equação Ax=0. Quais opções possuem somente solução trivial?
(I) A é uma matriz 4 times 4 com 4 posições pivôs.
(II) A é uma matriz 3 times 3 com 2 posições pivôs.
(III) A é uma matriz 2 times 4 com 2 posições pivôs.
(IV) A é uma matriz 5 times 3 com 3 posições pivôs. Escolha uma opção:
a. somentel
b. somente IV
c. somente I e II
d. somente II e III
e. somente Ie IV

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre equações matriciais do tipo Ax = 0 . A pergunta quer saber quais das opções listadas têm só a solução trivial, ou seja, onde a única solução possível é x = 0 . Para resolver isso, vamos mexer um pouco com conceitos de matrizes, posições pivôs e o que isso significa para as soluções da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma posição pivô. Em uma matriz, posições pivôs são elementos que ajudam a determinar o “rank” da matriz, que basicamente diz quantas linhas independentes a matriz tem. Se uma matriz A tem o mesmo número de pivôs que o número de incógnitas (as colunas), isso geralmente significa que a única solução para Ax = 0 é x = 0 , a solução trivial.

Passo 3

Vamos analisar cada opção:
(I) Matriz 4 times 4 com 4 posições pivôs:
Aqui, a matriz é quadrada e tem o máximo de pivôs possível (4). Isso significa que todas as colunas são independentes, e a única solução para Ax = 0 é x = 0 .

Passo 4

(II) Matriz 3 times 3 com 2 posições pivôs:
Essa matriz tem 3 colunas e apenas 2 pivôs. Isso indica que uma das colunas é dependente, ou seja, há uma variável livre. Portanto, além da solução trivial, existem infinitas soluções.

Passo 5

(III) Matriz 2 times 4 com 2 posições pivôs:
Essa é uma matriz com mais colunas do que linhas. Com 2 pivôs em 4 colunas, temos 2 variáveis livres. Logo, existem infinitas soluções além da trivial.

Passo 6

(IV) Matriz 5 times 3 com 3 posições pivôs:
Aqui, a matriz tem 3 colunas e 3 pivôs, o que significa que todas as colunas são independentes. Mesmo com 5 linhas, já que o número de pivôs é igual ao número de variáveis, a única solução para Ax = 0 é x = 0 .

Resposta

Apenas as opções I e IV possuem somente a solução trivial. Portanto, a resposta correta é a letra e. somente I e IV.

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