Prove que (z^n)^prime=n z^n-1, para n um inteiro negativo qualquer.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para n inteiro negativo, valendo n<0 e zneq0,
l(z^nr)' = n,z^n-1
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente (ou cadeia) e o fato já conhecido de que, para inteiro positivo m,
l(z^mr)' = m,z^m-1

Passo 2

Como n é negativo, ponhamos m=-n, de modo que m>0 e
z^n = z^-m = 1z^m
Definimos a função auxiliar
g(z) = z^m,
cuja derivada, por hipótese conhecida, é
g'(z) = m,z^m-1

Passo 3

Agora escrevemos
f(z) = z^n = 1g(z)
Usando a regra do quociente (ou a regra da cadeia com h(w)=1/w, cuja derivada é h'(w)=-1/w^2), temos
f'(z) = -g'(z)l(g(z)r)^2 = -m,z^m-1l(z^mr)^2 = -m,z^m-1z^2m = -m,z^m-1-2m = -m,z^-m-1

Passo 4

Lembrando que m=-n, obtemos
-m = n, -m-1 = n-1,
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f'(z) = -m,z^-m-1 = n,z^n-1

Resposta

l(z^nr)' = n,z^n-1, ninZ,;n<0,;zneq0

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