Prove que a soma de um número finito de funções analíticas é analítica e a derivada da soma é a soma das derivadas das parcelas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma de um número finito de funções analíticas também é analítica e que a derivada dessa soma é igual à soma das derivadas das funções individuais. Estamos falando de funções analíticas, que, basicamente, são funções que podem ser representadas por séries de potências (tipo polinômios infinitos) em torno de qualquer ponto do seu domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar essas séries e como derivar termos de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função f(z) é analítica em um ponto se ela pode ser expressa por uma série de potências que converge nesse ponto. Ou seja,
f(z) = sumk=0^infty ak (z - z0)^k
onde ak são os coeficientes e z0 é o ponto em que estamos expandindo a série.

Passo 3

Agora, suponha que temos um número finito de funções analíticas, digamos f1(z), f2(z), dots, fn(z) . Cada uma delas pode ser escrita como uma série de potências:
fi(z) = sumk=0^infty aik (z - z0)^k para i = 1, 2, dots, n
Vamos somar todas essas funções:
f(z) = f1(z) + f2(z) + dots + fn(z) = sumk=0^infty ( a1k + a2k + dots + ank ) (z - z0)^k
Note que somamos os coeficientes correspondentes de cada série.

Passo 4

A soma resultante, f(z) , também é uma série de potências que converge no mesmo domínio das funções originais, já que somamos um número finito de séries que convergem. Portanto, f(z) é analítica.

Passo 5

Agora, vamos à parte da derivada. A derivada de uma função analítica pode ser obtida derivando sua série de potências termo a termo:
fi'(z) = sumk=1^infty k aik (z - z0)^k-1
Somando as derivadas das funções individuais:
f'(z) = f1'(z) + f2'(z) + dots + fn'(z) = sumk=1^infty ( k a1k + k a2k + dots + k ank ) (z - z0)^k-1
Isso é equivalente a derivar a soma das funções:
f'(z) = ddz ( sumk=0^infty ( a1k + a2k + dots + ank ) (z - z0)^k ) = sumk=1^infty k ( a1k + a2k + dots + ank ) (z - z0)^k-1

Resposta

Portanto, provamos que a soma de um número finito de funções analíticas é, de fato, analítica e que a derivada dessa soma é igual à soma das derivadas das funções individuais. Ou seja:
( sumi=1^n fi(z) )' = sumi=1^n fi'(z)

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