Considere a equação de Poisson:
\nabla^{2} \varphi(\vec{r})=\rho(\vec{r})
com \varphi sendo uma função com domínio em R^{3} e que cai a zero com 1 / r^{2}. Usando transformada de Fourier e o conceito de função de Green, obtenha a solução desta equação em termos de \rho.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Poisson
\nabla^{2}\varphi(\vec{r})=\rho(\vec{r})
com \varphi definida em \mathbb{R}^{3} e que tende a zero como 1/r^{2} quando r\to\infty. O objetivo é obter a solução \varphi em termos de \rho usando transformada de Fourier e o conceito de função de Green. Informações relevantes fornecidas:
  • Equação: \nabla^{2}\varphi(\vec{r})=\rho(\vec{r}).
  • Domínio: \vec{r}\in\mathbb{R}^{3}.
  • Condição no infinito: \varphi(\vec{r})\to 0 com taxa \sim 1/|\vec{r}|^{2} quando |\vec{r}|\to\infty.
  • Pedido: escrever \varphi(\vec{r}) em termos de \rho(\vec{r}) (usar transformada de Fourier e função de Green).

Passo 2

Escolher e definir a convenção de transformada de Fourier (importante ser explícito para não se perder nos fatores 2\pi). Vou usar a convenção:
\widehat{f}(\vec{k})=\int_{\mathbb{R}^{3}} f(\vec{r})\,e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}\,\mathrm{d}^{3}r
e a inversa
f(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\int_{\mathbb{R}^{3}} \widehat{f}(\vec{k})\,e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\,\mathrm{d}^{3}k.
Explicando: \widehat{f}(\vec{k}) é a transformada de f; \vec{k} é o vetor de frequências (no espaço recíproco); os integrais são em \mathbb{R}^{3}. Essa escolha faz com que a transformada do laplaciano seja simples (ver próximo passo), desde que f e suas derivadas decaiam suficientemente rápido no infinito — condição que temos aqui para \varphi.

Passo 3

Calcular a transformada de Fourier do lado esquerdo \nabla^{2}\varphi. Usando a propriedade da transformada e integração por partes (os termos de contorno em infinito caem por hipótese de decaimento), obtém-se
\widehat{\nabla^{2}\varphi}(\vec{k}) = -|\vec{k}|^{2}\,\widehat{\varphi}(\vec{k}).
Explicando por que: cada derivada espacial \partial_{x_{j}} transforma em multiplicação por i k_{j} (com sinal +i k_{j} na transformada direta definida acima? na prática, \mathcal{F}[\partial_{x_{j}}f]=i k_{j}\widehat{f} com a convenção dada) e por isso \mathcal{F}[\nabla^{2}f]=-(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2})\widehat{f}=-|\vec{k}|^{2}\widehat{f}. Como consequência, aplicando a transformada de Fourier à equação de Poisson obtemos, para todo \vec{k},
-|\vec{k}|^{2}\,\widehat{\varphi}(\vec{k})=\widehat{\rho}(\vec{k}).
Resolvendo para \widehat{\varphi} (assumindo \vec{k}\neq\vec{0}),
\widehat{\varphi}(\vec{k})=-\frac{\widehat{\rho}(\vec{k})}{|\vec{k}|^{2}}.
Observação importante sobre o modo \vec{k}=\vec{0}: a divisão por |\vec{k}|^{2} pede cuidado em \vec{k}=0. A condição de decaimento \varphi\sim 1/r^{2} garante regularidade suficiente para que \widehat{\varphi} seja bem comportada em \vec{k}=0 e implica que a carga total \int \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}^{3}r=\widehat{\rho}(\vec{0}) deve ser zero; caso contrário haveria termo monopolar \varphi\sim 1/r. Assim, sob a hipótese dada, não há singularidade efetiva em \vec{k}=0.

Passo 4

Fazer a transformada inversa para obter \varphi no espaço real. Usando a inversa,
\varphi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\int_{\mathbb{R}^{3}} \widehat{\varphi}(\vec{k})\,e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\,\mathrm{d}^{3}k =\frac{-1}{(2\pi)^{3}}\int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{\widehat{\rho}(\vec{k})}{|\vec{k}|^{2}}\,e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\,\mathrm{d}^{3}k.
Isto já é uma expressão correta e válida: \varphi é a transformada inversa de -\widehat{\rho}/|\vec{k}|^{2}. Mas é mais elucidativo escrevê-la como uma convolução com uma função de Green no espaço real, como veremos a seguir.

Passo 5

Reconhecer a transformada inversa de 1/|\vec{k}|^{2}. O núcleo de convolução é a transformada inversa de 1/|\vec{k}|^{2}:
\Psi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}}{|\vec{k}|^{2}}\,\mathrm{d}^{3}k.
Esse integral pode ser calculado em coordenadas esféricas no espaço \vec{k}: alinhar \vec{r} com o eixo z faz com que a integral angular produza um fator (4\pi)\dfrac{\sin(kr)}{kr}, onde k=|\vec{k}| e r=|\vec{r}|. Assim
\Psi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\cdot 4\pi\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(kr)}{kr}\,\mathrm{d}k.
Usando o integral bem conhecido \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(kr)}{k}\,\mathrm{d}k=\frac{\pi}{2} para r>0, obtemos
\Psi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\cdot 4\pi\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{r}=\frac{1}{4\pi r}.
Portanto a transformada inversa de 1/|\vec{k}|^{2} é \Psi(\vec{r})=1/(4\pi|\vec{r}|). Essa é uma expressão padrão e pode ser encontrada em tabelas de transformadas ou derivada conforme fizemos.

Passo 6

Escrever \varphi como convolução com a função de Green. Substituindo \Psi na expressão do passo 4 e lembrando do sinal, temos
\varphi(\vec{r})=-\int_{\mathbb{R}^{3}} \Psi(\vec{r}-\vec{r}\,')\,\rho(\vec{r}\,')\,\mathrm{d}^{3}r' =-\int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{1}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}\,'|}\,\rho(\vec{r}\,')\,\mathrm{d}^{3}r'.
Definindo a função de Green G(\vec{r}) tal que \nabla^{2}G(\vec{r})=\delta(\vec{r}), tem-se G(\vec{r})=-\dfrac{1}{4\pi|\vec{r}|}. Assim a solução escrita como produto de convolução fica
\varphi(\vec{r})=\int_{\mathbb{R}^{3}} G(\vec{r}-\vec{r}\,')\,\rho(\vec{r}\,')\,\mathrm{d}^{3}r' =-\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{\rho(\vec{r}\,')}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|}\,\mathrm{d}^{3}r'.
Esse é o resultado clássico: a solução de Poisson em \mathbb{R}^{3} decaindo adequadamente no infinito é a convolução de \rho com o núcleo -1/(4\pi r).

Passo 7

Comentário sobre unicidade e condição no infinito (motivacional): a condição \varphi(\vec{r})\to 0 como 1/r^{2} garante unicidade da solução e permite dividir por |\vec{k}|^{2} no passo 3 sem problemas no modo \vec{k}=0 (ela implica \widehat{\rho}(\vec{0})=0). Se a integral total \int \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}^{3}r fosse diferente de zero, a solução física decairia como 1/r no infinito e o termo \vec{k}=0 manifestaria um monopolo; nesse caso a expressão por convolução com 1/|\vec{r}| ainda vale, mas a hipótese de decaimento como 1/r^{2} seria violada. Em resumo: com as hipóteses dadas, a expressão obtida é correta e única.

Resposta

\varphi(\vec{r})=-\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{\rho(\vec{r}\,')}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|}\,\mathrm{d}^{3}r'.

Exercícios relacionados