Considere a equação de Poisson:
com
sendo uma função com domínio em
e que cai a zero com
. Usando transformada de Fourier e o conceito de função de Green, obtenha a solução desta equação em termos de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Poisson
com
definida em
e que tende a zero como
quando
. O objetivo é obter a solução
em termos de
usando transformada de Fourier e o conceito de função de Green. Informações relevantes fornecidas:
- Equação:
. - Domínio:
. - Condição no infinito:
com taxa quando . - Pedido: escrever
em termos de (usar transformada de Fourier e função de Green).
Passo 2
Escolher e definir a convenção de transformada de Fourier (importante ser explícito para não se perder nos fatores
). Vou usar a convenção:
e a inversa
Explicando:
é a transformada de
;
é o vetor de frequências (no espaço recíproco); os integrais são em
. Essa escolha faz com que a transformada do laplaciano seja simples (ver próximo passo), desde que
e suas derivadas decaiam suficientemente rápido no infinito — condição que temos aqui para
.
Passo 3
Calcular a transformada de Fourier do lado esquerdo
. Usando a propriedade da transformada e integração por partes (os termos de contorno em infinito caem por hipótese de decaimento), obtém-se
Explicando por que: cada derivada espacial
transforma em multiplicação por
(com sinal
na transformada direta definida acima? na prática,
com a convenção dada) e por isso
. Como consequência, aplicando a transformada de Fourier à equação de Poisson obtemos, para todo
,
Resolvendo para
(assumindo
),
Observação importante sobre o modo
: a divisão por
pede cuidado em
. A condição de decaimento
garante regularidade suficiente para que
seja bem comportada em
e implica que a carga total
deve ser zero; caso contrário haveria termo monopolar
. Assim, sob a hipótese dada, não há singularidade efetiva em
.
Passo 4
Fazer a transformada inversa para obter
no espaço real. Usando a inversa,
Isto já é uma expressão correta e válida:
é a transformada inversa de
. Mas é mais elucidativo escrevê-la como uma convolução com uma função de Green no espaço real, como veremos a seguir.
Passo 5
Reconhecer a transformada inversa de
. O núcleo de convolução é a transformada inversa de
:
Esse integral pode ser calculado em coordenadas esféricas no espaço
: alinhar
com o eixo
faz com que a integral angular produza um fator
, onde
e
. Assim
Usando o integral bem conhecido
para
, obtemos
Portanto a transformada inversa de
é
. Essa é uma expressão padrão e pode ser encontrada em tabelas de transformadas ou derivada conforme fizemos.
Passo 6
Escrever
como convolução com a função de Green. Substituindo
na expressão do passo 4 e lembrando do sinal, temos
Definindo a função de Green
tal que
, tem-se
. Assim a solução escrita como produto de convolução fica
Esse é o resultado clássico: a solução de Poisson em
decaindo adequadamente no infinito é a convolução de
com o núcleo
.
Passo 7
Comentário sobre unicidade e condição no infinito (motivacional): a condição
como
garante unicidade da solução e permite dividir por
no passo 3 sem problemas no modo
(ela implica
). Se a integral total
fosse diferente de zero, a solução física decairia como
no infinito e o termo
manifestaria um monopolo; nesse caso a expressão por convolução com
ainda vale, mas a hipótese de decaimento como
seria violada. Em resumo: com as hipóteses dadas, a expressão obtida é correta e única.