Considere o problema de uma membrana retangular que é mantida sob uma tensão por unidade de comprimento, T, que é igual em todas as direções, de modo que somente deslocamentos verticais são possíveis. Analogamente ao problema de uma corda esticada, podemos mostrar que a propagação de ondas nessa membrana, no regime de pequenos deslocamentos verticais, é dada pela equação de ondas em 2 D :
onde v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}, com \mu sendo a densidade superficial de massa e u(x, y, t) é o deslocamento vertical da membrana em relação a sua posição de equilíbrio.
a) Usando separação de variáveis, mostre que esta equação se reduz às equações:
\begin{aligned} & \frac{d^{2} f}{d x^{2}}=\lambda_{1} f \\\ & \frac{d^{2} g}{d y^{2}}=\lambda_{2} g \\\ & \frac{d^{2} h}{d t^{2}}=\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) v^{2} h \end{aligned}
onde u(x, y, t)=f(x) g(y) h(t) e \lambda_{1}, \lambda_{2} são constantes arbitrárias.
b) Considere as condições de contorno u(0, y, t)=u(a, y, t)=u(x, 0, t)=u(x, b, t)=0, com a e b sendo os comprimentos ao longo do eixo x e y da membrana, respectivamente. Além disso, considere as condições iniciais u(x, y, 0)=u_{0}(x, y) e \frac{\partial u(x, y, 0)}{\partial t}=v_{0}(x, y). Mostre que nesse caso, \lambda_{1}=-\frac{m^{2} \pi^{2}}{a^{2}}(m=1,2,3, \ldots) e \lambda_{2}=-\frac{n^{2} \pi^{2}}{a^{2}}(n=1,2,3, \ldots), com autofunções associadas
onde \omega_{m n}=\pi v \sqrt{m^{2} / a^{2}+n^{2} / b^{2}} e a_{m n}, b_{m n} são constantes reais arbitrárias que devem ser ajustadas para que a solução geral
satisfaça às condições iniciais.
c) Mostre \sin \left(\frac{m \pi x}{a}\right) \sin \left(\frac{n \pi y}{b}\right) forma um conjunto ortogonal de funções no intervalo (x, y) \in(0, a) \times(0, b).
d) Obtenha os coeficientes a_{m n} e b_{m n} em termos das funções u_{0}(x, y) e v_{0}(x, y).
(b) Com as condições de contorno homogêneas u(0,y,t)=u(a,y,t)=u(x,0,t)=u(x,b,t)=0 e condições iniciais u(x,y,0)=u_{0}(x,y),\; u_{t}(x,y,0)=v_{0}(x,y), mostrar que as constantes de separação são
Observação crucial de separação: o lado esquerdo é função só de t e o lado direito é soma de uma função só de x com uma só de y. Para que essa igualdade valha para todos x,y,t, cada termo dependente de variáveis distintas deve ser igual a uma constante. Procedemos em duas etapas:
Primeiro, fixe x e y; a expressão à esquerda depende só de t, então a soma \dfrac{f''(x)}{f(x)}+\dfrac{g''(y)}{g(y)} também deve ser independente de x,y. Isso só é possível se cada fração for igual a uma constante (pois uma depende só de x e a outra só de y). Assim introduzimos constantes \lambda_{1} e \lambda_{2} tais que
Isto responde a parte (a): vimos explicitamente como a separação gera essas três EDOs.
Passo 4
Agora aplicamos as condições de contorno para determinar quais valores \lambda_{1},\lambda_{2} permitem soluções não-triviais. Comecemos com a equação em x:
f''(x)=\lambda_{1}f(x),\qquad f(0)=0,\; f(a)=0.
Estudamos três casos possíveis para \lambda_{1}:
Caso \lambda_{1}>0. Escreva \lambda_{1}=\alpha^{2} com \alpha>0. A solução geral é
f(x)=A e^{\alpha x}+B e^{-\alpha x}.
As condições f(0)=0 e f(a)=0 implicam A+B=0 e A e^{\alpha a}+B e^{-\alpha a}=0. Dessas duas equações segue A(e^{\alpha a}-e^{-\alpha a})=0 e, como e^{\alpha a}-e^{-\alpha a}\neq 0, obtemos A=0 e então B=0. Logo a única solução é a trivial f\equiv 0. Portanto \lambda_{1}>0 não dá solução não-trivial.
Caso \lambda_{1}=0. Então f''=0 e f(x)=Ax+B. As condições f(0)=0 e f(a)=0 dão B=0 e A a=0\Rightarrow A=0. De novo somente a solução trivial.
Caso \lambda_{1}<0. Escreva \lambda_{1}=-\alpha^{2} com \alpha>0. A EDO fica
f''+\alpha^{2}f=0,
com solução geral
f(x)=C\cos(\alpha x)+D\sin(\alpha x).
Aplicando f(0)=0 dá C=0. Aplicando f(a)=0 dá D\sin(\alpha a)=0. Para obter solução não-trivial precisamos D\neq 0, então exigimos
\sin(\alpha a)=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha a = m\pi,\qquad m=1,2,3,\dots
Pelo que já mostramos, este produto é zero se m\neq m'\] ou \(n\neq n', e é \dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{b}{2}=\dfrac{ab}{4} se m=m' e n=n'. Portanto as funções \sin\!\big(\tfrac{m\pi x}{a}\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi y}{b}\big) são ortogonais no domínio (0,a)\times(0,b). Isso responde (c).]
Passo 7
Agora obtemos os coeficientes a_{mn} e b_{mn} (parte d) usando as condições iniciais. Escrevemos a série solução no instante t=0 e sua derivada temporal em t=0:
porque \frac{d}{dt}\big(a_{mn}\cos(\omega_{mn}t)+b_{mn}\sin(\omega_{mn}t)\big)\big|_{t=0}
= -a_{mn}\omega_{mn}\sin(0)+b_{mn}\omega_{mn}\cos(0)=b_{mn}\omega_{mn}.
Agora projetamos sobre um modo particular (m,n) e usamos ortogonalidade. Multiplique a expressão para u_{0} por \sin\!\big(\tfrac{m\pi x}{a}\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi y}{b}\big) e integre sobre o retângulo:
Por ortogonalidade \mathcal{I}_{pq,mn}=0 salvo p=m e q=n, e para p=m,\;q=n vale \mathcal{I}_{mn,mn}=ab/4. Assim apenas o termo p=m,q=n permanece no somatório, de onde
Estas fórmulas dão a_{mn} e b_{mn} em termos das condições iniciais u_{0} e v_{0}. Observação prática: as integrais devem existir (por exemplo u_{0},v_{0} quadrado-integráveis no retângulo) para que as somas façam sentido; em provas isso costuma ser assumido.
A solução geral: \displaystyle u(x,y,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{mn}\cos(\omega_{mn}t)+b_{mn}\sin(\omega_{mn}t)\big)
\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right).
(c) As funções \displaystyle \sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) são ortogonais em (0,a)\times(0,b); isto é, \displaystyle \int_{0}^{a}\int_{0}^{b}
\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right)
\sin\!\left(\frac{m'\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n'\pi y}{b}\right)\,dy\,dx=0
se m\neq m' ou n\neq n', e vale \dfrac{ab}{4} se m=m' e n=n'.