Considere a equação polar
de uma cônica com seu foco no polo e excentricidade
, onde
e
. Diga qual é a equação da diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação polar de uma cônica:
, onde
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a equação da diretriz dessa cônica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações polares de cônicas e como relacionar os parâmetros
(excentricidade) e
com a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma cônica em coordenadas polares, com o foco na origem (polo), é dada por:
Aqui,
é a excentricidade que define o tipo de cônica:
- Se
, é um círculo. - Se
, é uma elipse. - Se
, é uma parábola. - Se
, é uma hipérbole.
A diretriz de uma cônica é uma reta fixa relacionada à cônica. No caso das equações polares, a diretriz está relacionada ao parâmetro
e à excentricidade
.
Passo 3
Para encontrar a equação da diretriz, precisamos relacionar as coordenadas polares com as coordenadas cartesianas. Sabemos que:
Substituindo esses na equação da cônica, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos
por
:
Vamos isolar a raiz:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Expandindo o lado direito:
Distribuindo o
:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Fatorando
:
Passo 6
Para encontrar a equação da diretriz, lembramos que a diretriz de uma cônica está relacionada ao parâmetro
e à excentricidade
. No caso das coordenadas cartesianas, a diretriz será uma reta vertical ou horizontal dependendo da orientação da cônica.
Dado que temos
, a cônica está orientada no eixo x. Assim, a equação da diretriz será uma reta vertical. A distância da diretriz à origem é dada por:
Resposta
A equação da diretriz é
.