Considere a equação polar r=e d1+e cos theta de uma cônica com seu foco no polo e excentricidade e, onde e>0 e d>0. Diga qual é a equação da diretriz.
y=d

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação polar de uma cônica: r = e d1 + e cos theta , onde e > 0 e d > 0 . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a equação da diretriz dessa cônica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações polares de cônicas e como relacionar os parâmetros e (excentricidade) e d com a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma cônica em coordenadas polares, com o foco na origem (polo), é dada por:
r = e d1 + e cos theta
Aqui, e é a excentricidade que define o tipo de cônica:
  • Se e = 0 , é um círculo.
  • Se 0 < e < 1 , é uma elipse.
  • Se e = 1 , é uma parábola.
  • Se e > 1 , é uma hipérbole.
A diretriz de uma cônica é uma reta fixa relacionada à cônica. No caso das equações polares, a diretriz está relacionada ao parâmetro d e à excentricidade e .

Passo 3

Para encontrar a equação da diretriz, precisamos relacionar as coordenadas polares com as coordenadas cartesianas. Sabemos que:
r = raizx^2 + y^2
cos theta = xr
Substituindo esses na equação da cônica, temos:
r = e d1 + e cdot xr
Multiplicando ambos os lados por 1 + e xr :
r (1 + e xr) = e d
Simplificando:
r + e x = e d
r = e d - e x

Passo 4

Agora, substituímos r por raizx^2 + y^2 :
raizx^2 + y^2 = e d - e x
Vamos isolar a raiz:
raizx^2 + y^2 = e (d - x)
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + y^2 = e^2 (d - x)^2

Passo 5

Expandindo o lado direito:
x^2 + y^2 = e^2 (d^2 - 2 d x + x^2)
Distribuindo o e^2 :
x^2 + y^2 = e^2 d^2 - 2 e^2 d x + e^2 x^2
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
x^2 + y^2 - e^2 x^2 + 2 e^2 d x - e^2 d^2 = 0
Fatorando x^2 :
x^2 (1 - e^2) + y^2 + 2 e^2 d x - e^2 d^2 = 0

Passo 6

Para encontrar a equação da diretriz, lembramos que a diretriz de uma cônica está relacionada ao parâmetro d e à excentricidade e . No caso das coordenadas cartesianas, a diretriz será uma reta vertical ou horizontal dependendo da orientação da cônica.
Dado que temos cos theta , a cônica está orientada no eixo x. Assim, a equação da diretriz será uma reta vertical. A distância da diretriz à origem é dada por:
x = de

Resposta

A equação da diretriz é x = de .

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