Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
e^x d yd x=e^-y+e^-2 x-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando o método de separação de variáveis. A equação que a gente tem é:
e^x dydx = e^-y + e^-2x - y
Pra resolver isso, vamos precisar separar as variáveis y e x de forma que cada uma fique de um lado da equação. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que no lado direito podemos fatorar e^-y :
e^x dydx = e^-y(1 + e^-2x)

Passo 3

Agora, o objetivo é separar y e x . Para isso, vamos dividir ambos os lados por e^x :
dydx = e^-xe^-y(1 + e^-2x)
Simplificando:
dydx = e^-ye^-x(1 + e^-2x)

Passo 4

Vamos reorganizar para colocar todas as expressões com y de um lado e com x do outro. Multiplicando ambos os lados por e^y :
e^y dydx = e^-x(1 + e^-2x)

Passo 5

Agora, temos uma forma onde podemos integrar ambos os lados. A ideia do método de separação de variáveis é exatamente essa: integrar y de um lado e x do outro. Então, reescrevemos a equação para facilitar a integração:
e^y dy = e^-x(1 + e^-2x) dx

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral e^y dy = integral e^-x(1 + e^-2x) dx
Integral do lado esquerdo:
integral e^y dy = e^y + C1
Integral do lado direito:
integral e^-x(1 + e^-2x) dx = integral e^-x dx + integral e^-3x dx = -e^-x - 13 e^-3x + C2

Passo 7

Juntando as integrais e as constantes C1 e C2 em uma única constante C :
e^y = -e^-x - 13 e^-3x + C

Passo 8

Para deixar a solução mais elegante, podemos escrever:
e^y = C - e^-x - 13 e^-3x

Resposta

A solução geral da EDO é:
e^y = C - e^-x - 13 e^-3x

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