Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando o método de separação de variáveis. A equação que a gente tem é:
Pra resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
de forma que cada uma fique de um lado da equação. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que no lado direito podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, o objetivo é separar
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos reorganizar para colocar todas as expressões com
de um lado e com
do outro. Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, temos uma forma onde podemos integrar ambos os lados. A ideia do método de separação de variáveis é exatamente essa: integrar
de um lado e
do outro. Então, reescrevemos a equação para facilitar a integração:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:
Passo 7
Juntando as integrais e as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 8
Para deixar a solução mais elegante, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da EDO é: