Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para conseguir resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a equação para isolar os termos com
de um lado e os termos com
de outro. Podemos reescrever a equação assim:
Agora, dividimos ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Vamos simplificar a fração
. Sabemos que:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para termos todas as
de um lado e as
de outro. Multiplicando ambos os lados por
:
Mas perceba que ainda não está totalmente separado. Talvez uma abordagem diferente funcione melhor.
Passo 5
Vamos tentar reescrever a equação original de outra forma. Dividindo tudo por
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A equação está na forma:
Integramos ambos os lados:
Passo 7
Calculando as integrais:
- A integral de
é - A integral de
é
Então:
Passo 8
Podemos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 9
Para deixar a resposta mais limpa, podemos escrever em termos de
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.