Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
sen 3 x d x+2 y cos 3 x d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
sin(3x) , dx + 2y cos(3x) , dy = 0
Vamos precisar entender como separar as variáveis x e y para conseguir resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a equação para isolar os termos com dx de um lado e os termos com dy de outro. Podemos reescrever a equação assim:
sin(3x) , dx = -2y cos(3x) , dy
Agora, dividimos ambos os lados por y sin(3x) para separar as variáveis:
dxy = -2 cos(3x)sin(3x) , dy

Passo 3

Vamos simplificar a fração cos(3x)sin(3x). Sabemos que:
cos(3x)sin(3x) = cot(3x)
Então, a equação fica:
dxy = -2 cot(3x) , dy

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para termos todas as x de um lado e as y de outro. Multiplicando ambos os lados por y:
dx = -2 y cot(3x) , dy
Mas perceba que ainda não está totalmente separado. Talvez uma abordagem diferente funcione melhor.

Passo 5

Vamos tentar reescrever a equação original de outra forma. Dividindo tudo por cos(3x):
sin(3x)cos(3x) , dx + 2y , dy = 0
Sabemos que sin(3x)cos(3x) = tan(3x), então:
tan(3x) , dx + 2y , dy = 0

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A equação está na forma:
tan(3x) , dx = -2y , dy
Integramos ambos os lados:
integral tan(3x) , dx = integral -2y , dy

Passo 7

Calculando as integrais:
  • A integral de tan(3x) é -13 ln|cos(3x)| + C
  • A integral de -2y é -y^2 + C
    Então:
-13 ln|cos(3x)| = -y^2 + C

Passo 8

Podemos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por -3:
ln|cos(3x)| = 3y^2 + C'
Onde C' = -3C é uma constante arbitrária.

Passo 9

Para deixar a resposta mais limpa, podemos escrever em termos de y:
y^2 = 13 ln|cos(3x)| + C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y^2 = 13 ln|cos(3x)| + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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