Considere a equação polar r=e d1+e cos theta de uma cônica com seu foco no polo e excentricidade e, onde e>0 e d>0. Diga qual é a equação da diretriz.
x=d

Passo 1

O enunciado nos dá a equação polar de uma cônica com foco no polo e excentricidade e>0:
r = e,d1 + ecostheta,
e pede a equação da diretriz correspondente.
Para resolver, vamos usar a definição de cônica por foco e diretriz, e expressar a distância de um ponto P à diretriz em coordenadas polares.

Passo 2

Pela definição, a cônica é o lugar geométrico dos pontos P que satisfazem
dist(P,;foco)dist(P,;diretriz) ;=; e
Aqui o foco está no polo, então dist(P,foco) = r. Supondo que a diretriz seja a reta vertical x = k, a distância de P=(r,theta) até essa reta é
dist(P,;x=k) ;=; l|x - kr| ;=; l|rcostheta - kr|

Passo 3

Impondo a razão de distâncias, temos
rl|rcostheta - kr| = e
Escolhendo o ramo em que rcostheta < k (para que o denominador seja positivo), isso vira
r = e,l(k - rcosthetar) ;Longrightarrow; r + e,rcostheta = e,k ;Longrightarrow; r,(1 + ecostheta) = e,k ;Longrightarrow; r = e,k1 + ecostheta

Passo 4

Comparando com a equação dada
r = e,d1 + ecostheta,
vemos que necessariamente k = d. Portanto a diretriz é a reta vertical
x = d

Resposta

x = d

Exercícios relacionados