Considere a equação polar de uma cônica com seu foco no polo e excentricidade , onde e . Diga qual é a equação da diretriz.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação polar de uma cônica com foco no polo e excentricidade :
e pede a equação da diretriz correspondente.
Para resolver, vamos usar a definição de cônica por foco e diretriz, e expressar a distância de um ponto à diretriz em coordenadas polares.
Passo 2
Pela definição, a cônica é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem
Aqui o foco está no polo, então . Supondo que a diretriz seja a reta vertical , a distância de até essa reta é
Passo 3
Impondo a razão de distâncias, temos
rl|rcostheta - kr| = e
Escolhendo o ramo em que rcostheta < k (para que o denominador seja positivo), isso vira
r = e,l(k - rcosthetar) ;Longrightarrow; r + e,rcostheta = e,k ;Longrightarrow; r,(1 + ecostheta) = e,k ;Longrightarrow; r = e,k1 + ecostheta
Passo 4
Comparando com a equação dada
r = e,d1 + ecostheta,
vemos que necessariamente k = d. Portanto a diretriz é a reta vertical