Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) onde precisamos usar o método de separação de variáveis para resolver a equação:
Vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que contêm
dos que contêm
. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Agora, os termos com
estão de um lado e os termos com
estão do outro.
Passo 3
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia é integrar em relação a
de um lado e em relação a
do outro:
Mas aqui percebemos que ainda está misturado
e
. Vamos precisar de uma abordagem diferente para separar completamente as variáveis.
Passo 4
Vamos voltar à equação original e dividir ambos os lados por
:
Agora, conseguimos isolar os termos de
de um lado e os de
do outro.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Essas integrais são mais simples e conhecidas. Vamos resolver cada uma delas.
Passo 6
Para resolver
, podemos usar a substituição:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 7
De forma similar, para
, fazemos:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, igualamos as duas expressões integradas:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Para simplificar, podemos escrever a solução geral da EDO como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: