Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
x(1+y^2)^1 / 2 d x=y(1+x^2)^1 / 2 d y

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) onde precisamos usar o método de separação de variáveis para resolver a equação:
x(1+y^2)^1 / 2 dx = y(1+x^2)^1 / 2 dy
Vamos precisar entender como separar as variáveis x e y para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que contêm x dos que contêm y. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por xy:
(1+y^2)^1/2y dx = (1+x^2)^1/2x dy
Agora, os termos com x estão de um lado e os termos com y estão do outro.

Passo 3

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia é integrar em relação a x de um lado e em relação a y do outro:
integral (1+y^2)^1/2y dx = integral (1+x^2)^1/2x dy
Mas aqui percebemos que ainda está misturado x e y. Vamos precisar de uma abordagem diferente para separar completamente as variáveis.

Passo 4

Vamos voltar à equação original e dividir ambos os lados por (1+x^2)^1/2 (1+y^2)^1/2:
x(1+x^2)^1/2 dx = y(1+y^2)^1/2 dy
Agora, conseguimos isolar os termos de x de um lado e os de y do outro.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral x(1+x^2)^1/2 dx = integral y(1+y^2)^1/2 dy
Essas integrais são mais simples e conhecidas. Vamos resolver cada uma delas.

Passo 6

Para resolver integral x(1+x^2)^1/2 dx, podemos usar a substituição:
Seja u = 1 + x^2, então du = 2x dx ou du2 = x dx.
Substituindo na integral:
integral xraizu dx = 12 integral u^-1/2 du = 12 cdot 2 u^1/2 + C = raizu + C = raiz1 + x^2 + C

Passo 7

De forma similar, para integral y(1+y^2)^1/2 dy, fazemos:
Seja v = 1 + y^2, então dv = 2y dy ou dv2 = y dy.
Substituindo na integral:
integral yraizv dy = 12 integral v^-1/2 dv = 12 cdot 2 v^1/2 + C = raizv + C = raiz1 + y^2 + C

Passo 8

Agora, igualamos as duas expressões integradas:
raiz1 + x^2 = raiz1 + y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Para simplificar, podemos escrever a solução geral da EDO como:
raiz1 + x^2 - raiz1 + y^2 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
raiz1 + x^2 - raiz1 + y^2 = C

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