Exercício 2. Considere o problema de valor inicial
a) Determine a solução do PVI.
b) Determine o intervalo de validade da solução do PVI.
a) Determine a solução do PVI.
b) Determine o intervalo de validade da solução do PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que temos aqui é um problema de valor inicial (PVI) onde queremos encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e ainda passa por um ponto específico. Estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis
e
. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro:
Agora, conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar
. A integral de cada lado fica assim:
Vamos calcular essas integrais passo a passo.
Passo 4
Vamos integrar o lado esquerdo primeiro:
Aqui, usamos a substituição
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito:
Aqui, usamos a substituição
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, juntamos as integrais que calculamos:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar
. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então:
Passo 8
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta na equação geral:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 9
Para isolar
, aplicamos a função inversa do seno, ou seja, o arco-seno:
E então, dividimos por 4:
Passo 10
Agora, vamos determinar o intervalo de validade da solução. Precisamos garantir que o argumento da função
esteja no intervalo
, pois o arco-seno só está definido para valores dentro desse intervalo.
Então, precisamos que:
Resolvendo essas desigualdades para
, encontramos o intervalo de validade.
Resposta
a) A solução do PVI é
.
b) O intervalo de validade da solução está definido pelos valores de
que satisfazem
.