Exercício 2. Considere o problema de valor inicial ld yd x=3 sen(3 x)2 cos (4 y) y(-pi3)=pi4
a) Determine a solução do PVI.
b) Determine o intervalo de validade da solução do PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que temos aqui é um problema de valor inicial (PVI) onde queremos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e ainda passa por um ponto específico. Estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis y e x . A equação dada é:
dydx = 3 sin(3x)2 cos(4y)
Vamos multiplicar ambos os lados por 2 cos(4y) para isolar dy de um lado e dx do outro:
2 cos(4y) , dy = 3 sin(3x) , dx
Agora, conseguimos separar as variáveis y e x em lados opostos da equação.

Passo 3

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar y(x) . A integral de cada lado fica assim:
integral 2 cos(4y) , dy = integral 3 sin(3x) , dx
Vamos calcular essas integrais passo a passo.

Passo 4

Vamos integrar o lado esquerdo primeiro:
integral 2 cos(4y) , dy
Aqui, usamos a substituição u = 4y , então du = 4 , dy ou dy = du4 . Substituindo na integral:
2 integral cos(u) cdot du4 = 12 integral cos(u) , du = 12 sin(u) + C = 12 sin(4y) + C

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito:
integral 3 sin(3x) , dx
Aqui, usamos a substituição v = 3x , então dv = 3 , dx ou dx = dv3 . Substituindo na integral:
3 integral sin(v) cdot dv3 = integral sin(v) , dv = -cos(v) + C = -cos(3x) + C

Passo 6

Agora, juntamos as integrais que calculamos:
12 sin(4y) = -cos(3x) + C
Onde C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 7

Vamos aplicar a condição inicial y(-pi3) = pi4 para encontrar C . Substituindo esses valores na equação:
12 sin(4 cdot pi4) = -cos(3 cdot (-pi3)) + C
Simplificando:
12 sin(pi) = -cos(-pi) + C
Sabemos que sin(pi) = 0 e cos(-pi) = cos(pi) = -1 , então:
0 = -(-1) + C Rightarrow 0 = 1 + C Rightarrow C = -1

Passo 8

Agora que temos o valor de C , substituímos de volta na equação geral:
12 sin(4y) = -cos(3x) - 1
Multiplicando ambos os lados por 2:
sin(4y) = -2 cos(3x) - 2

Passo 9

Para isolar y , aplicamos a função inversa do seno, ou seja, o arco-seno:
4y = arcsin(-2 cos(3x) - 2)
E então, dividimos por 4:
y = 14 arcsin(-2 cos(3x) - 2)

Passo 10

Agora, vamos determinar o intervalo de validade da solução. Precisamos garantir que o argumento da função arcsin esteja no intervalo [-1, 1], pois o arco-seno só está definido para valores dentro desse intervalo.
Então, precisamos que:
-1 <= -2 cos(3x) - 2 <= 1
Resolvendo essas desigualdades para x , encontramos o intervalo de validade.

Resposta

a) A solução do PVI é y(x) = 14 arcsin(-2 cos(3x) - 2) .
b) O intervalo de validade da solução está definido pelos valores de x que satisfazem -1 <= -2 cos(3x) - 2 <= 1 .

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