Considere a equação 5 x^3+2=cos (2 pi x). É possível garantir que ela tem uma raíz real em qual intervalo?
a (1,2)
b (2,3)
c (0,1)
d (-1,0)
(e) (-1,-2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um dos intervalos dados em que a equação
5x^3 + 2 = cos(2pi x)
tenha garantidamente uma raiz real. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que, se g é contínua num intervalo [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos, então existe cin(a,b) tal que g(c)=0.

Passo 2

Definimos a função contínua
g(x) = 5x^3 + 2 - cos(2pi x)
Como soma de polinômio e cosseno (ambos contínuos em R), g é contínua em todo R.

Passo 3

Vamos avaliar g nos extremos dos intervalos propostos:
g(-2)&=5(-2)^3+2-cos(-4pi)=-40+2-1=-39<0, g(-1)&=5(-1)^3+2-cos(-2pi)=-5+2-1=-4<0, g(0)&=5cdot0^3+2-cos(0)=2-1=1>0, g(1)&=5cdot1^3+2-cos(2pi)=7-1=6>0, g(2)&=5cdot2^3+2-cos(4pi)=40+2-1=41>0, g(3)&=5cdot3^3+2-cos(6pi)=135+2-1=136>0
Observamos que só em (-1,0) há troca de sinal: g(-1)<0 e g(0)>0.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g é contínua em [-1,0] e muda de sinal entre x=-1 e x=0, existe pelo menos uma raiz de g(x)=0 (isto é, de 5x^3+2=cos(2pi x)) em (-1,0).

Resposta

d (-1,0)

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