Resolva cada um dos seguintes problemas com valor inicial usando transformadas de Laplace.
d^2 yd t^2+4 d yd t+4 y=l0, se t <= 2 e^-(t-2), se t>2 ; y(0)=1, y^prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
d^2ydt^2+4dydt+4y=f(t), y(0)=1,;y'(0)=-1,
onde
f(t)= 0, & t<=2, e^-(t-2), & t>2
O conteúdo é transformada de Laplace, e vamos usar a representação
f(t)=u(t-2)e^-(t-2)
com a função de Heaviside u(t-2), além do teorema do deslocamento.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Denotando Ly=Y(s), temos
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s)
No lado direito,
Lu(t-2)e^-(t-2)(s) =e^-2sLe^-t(s) =e^-2ss+1
Logo a equação em s fica
l[s^2Y - scdot1 -(-1)r] +4l[sY-1r] +4Y ;=;e^-2ss+1

Passo 3

Reagrupando termos em Y(s) e constantes:
(s^2+4s+4)Y(s);-;(s+3);=;e^-2ss+1
Como s^2+4s+4=(s+2)^2, obtemos
Y(s) =s+3(s+2)^2 ;+;e^-2s(s+1)(s+2)^2
Chamamos de Y1(s)=dfracs+3(s+2)^2 e Y2(s)=dfrace^-2s(s+1)(s+2)^2.

Passo 4

Invertemos Y1(s). Escrevemos
s+3(s+2)^2 =s+2(s+2)^2+1(s+2)^2 =1s+2+1(s+2)^2
Logo
y1(t)=L^-1Y1(t) =e^-2t+t,e^-2t

Passo 5

Para Y2(s)=e^-2sH(s) usamos o teorema do deslocamento, onde
H(s)=1(s+1)(s+2)^2
Fazemos frações parciais:
1(s+1)(s+2)^2 =As+1+Bs+2+C(s+2)^2
Multiplicando e igualando coeficientes, obtemos A=1, B=-1, C=-1. Assim
H(s)=1s+1-1s+2-1(s+2)^2 Longrightarrow h(t)=e^-t-e^-2t-t,e^-2t
Pelo deslocamento,
y2(t)=u(t-2),h(t-2) =u(t-2)l[e^-(t-2)-e^-2(t-2)-(t-2)e^-2(t-2)r]

Resposta

y(t) =e^-2tl(1+tr) +u(t-2)l[e^-(t-2)-e^-2(t-2)-(t-2)e^-2(t-2)r]

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