Resolva cada um dos seguintes problemas com valor inicial usando transformadas de Laplace.
y^prime prime+2 y^prime+y=de<a0(t)+u2(t), y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
y'' + 2y' + y = de<a0(t) + u2(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar Lcdot em cada termo, usar Lde<a0(t)=1, Lu2(t)=e^-2s/s e as fórmulas para derivadas.

Passo 2

Tomando transformada de Laplace em ambos os lados e lembrando
Ly''=s^2Y - s,y(0)-y'(0)=s^2Y-1, Ly'=sY-y(0)=sY, Ly=Y,
obtemos
(s^2Y-1) + 2(sY) + Y ;=;1 + e^-2ss
Ou seja,
(s^2+2s+1),Y ;-;1 = 1 + e^-2ss

Passo 3

Isolando Y(s):
(s+1)^2,Y = 2 + e^-2ss Longrightarrow Y = 2(s+1)^2 ;+;e^-2ss,(s+1)^2

Passo 4

A parte sem deslocamento é
2(s+1)^2 Longrightarrow y1(t) = 2,t,e^-t

Passo 5

Para a segunda parte usamos o teorema do deslocamento:
e^-2ss,(s+1)^2 = e^-2s;F(s),
com
F(s)=1s,(s+1)^2
Fazendo frações parciais:
1s(s+1)^2 = 1s - 1s+1 - 1(s+1)^2
Logo
f(t)=L^-1F(s) =1 - e^-t - t,e^-t

Passo 6

Pela propriedade de deslocamento,
L^-1e^-2sF(s) = u(t-2),f(t-2) = u(t-2)l[1 - e^-(t-2) - (t-2)e^-(t-2)r]

Resposta

boxedy(t)=2,t,e^-t;+;u(t-2),l[1 - e^-(t-2) - (t-2)e^-(t-2)r]

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