Resolva cada um dos seguintes problemas com valor inicial usando transformadas de Laplace.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0, y(1)=2 e+e^2, y^prime(1)=2 e+2 e^2. Sugestão: primeiro faça a substituição x=t-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''-3y'+2y=0
com condições iniciais em t=1:
y(1)=2e+e^2, y'(1)=2e+2e^2
O conteúdo é método da transformada de Laplace para EDOs com condições iniciais deslocadas. Para usar Laplace desde 0, fazemos a dica x=t-1.

Passo 2

Defina
Y(x)=y(x+1),
de modo que
Y'(x)=y'(t), Y''(x)=y''(t),
e a EDO vira
Y''-3Y'+2Y=0
As condições iniciais em x=0 são
Y(0)=y(1)=2e+e^2, Y'(0)=y'(1)=2e+2e^2

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace em cada termo:
LY''=s^2LY-sY(0)-Y'(0),
LY'=sLY-Y(0)
Logo, da EDO obtém-se
s^2LY-sY(0)-Y'(0);-;3l(sLY-Y(0)r);+;2LY=0

Passo 4

Agrupando LY e isolando termos conhecidos:
(s^2-3s+2),LY =;sY(0)+Y'(0);-;3Y(0)
Substitua Y(0)=2e+e^2 e Y'(0)=2e+2e^2:
(s-1)(s-2),LY = s(2e+e^2)+(2e+2e^2)-3(2e+e^2)

Passo 5

Calcule o lado direito:
s(2e+e^2)+(2e+2e^2)-3(2e+e^2) =2e(s-2)+e^2(s-1)
Logo
LY =2e(s-2)+e^2(s-1)(s-1)(s-2) =2es-1+e^2s-2
Invertendo a Laplace,
Y(x)=2e,e^x+e^2,e^2x

Passo 6

Volte à variável t usando x=t-1:
y(t)=Y(t-1) =2e,e^,t-1+e^2,e^2(t-1) =2e^t+e^2t

Resposta

y(t)=2e^t+e^2t

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