Resolva cada um dos seguintes problemas com valor inicial usando transformadas de Laplace.
d^4 yd t^4+3 d^3 yd t^3+d^2 yd t^2-3 d yd t-2 y=t ; y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de quarta ordem com valor inicial
d^4ydt^4 + 3d^3ydt^3 + d^2ydt^2 - 3dydt -2y = t,
sujeita a y(0)=y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar L, usar a fatoração do polinômio resultante e depois decomposição em frações parciais para inverter.

Passo 2

Tomando transformada de Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais nulas, obtemos
s^4Y(s)+3s^3Y(s)+s^2Y(s)-3sY(s)-2Y(s)= Lt=1s^2
Logo
Y(s)l(s^4+3s^3+s^2-3s-2r)=1s^2,
ou seja
Y(s)=1s^2,l(s^4+3s^3+s^2-3s-2r)

Passo 3

Fatoramos o polinômio de quarto grau:
s^4+3s^3+s^2-3s-2=(s-1)(s+1)^2(s+2)
Assim
Y(s)=1s^2(s-1)(s+1)^2(s+2)

Passo 4

Montamos a decomposição em frações parciais
1s^2(s-1)(s+1)^2(s+2) =Bs^2+As+Cs-1+Ds+1+E(s+1)^2+Fs+2

Passo 5

Determinando A,B,C,D,E,F por valores estratégicos de s e sistema linear, achamos
A=tfrac34, B=-tfrac12, C=tfrac112, D=-tfrac34, E=-tfrac12, F=-tfrac112

Passo 6

Invertendo termo a termo, usando
L^-1tfrac1s=1, L^-1tfrac1s^2=t,
L^-1tfrac1s-a=e^at e L^-1tfrac1(s-a)^2=t,e^at, resulta
y(t) =-tfrac12,t+tfrac34 +tfrac112e^t -tfrac34e^-t -tfrac12,t,e^-t -tfrac112e^-2t

Resposta

y(t) =34-t2 +112e^t -34e^-t -12,t,e^-t -112e^-2t

Exercícios relacionados