Considere a equação
y^prime prime(t)+5 y^prime(t)+6 y(t)=0
(a) Verifique que y1(t)=e^-2 t e y2(t)=e^-3 t são soluções fundamentais.
(b) Resolva o PVI com y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão que você trouxe. Temos a equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime(t) + 5 y^prime(t) + 6 y(t) = 0
Essa é uma equação linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares homogêneas, soluções fundamentais e condições iniciais. Vamos verificar se as funções dadas são soluções e depois resolver o problema com as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Parte (a): Verificar se y1(t) = e^-2t e y2(t) = e^-3t são soluções fundamentais.
Primeiro, precisamos confirmar se essas funções realmente satisfazem a equação diferencial. Isso significa que, substituindo y1(t) e y2(t) na equação, ambas devem tornar a equação verdadeira (igual a zero).

Passo 3

Vamos substituir y1(t) = e^-2t na equação.
Calculando as derivadas:
y1^prime(t) = -2 e^-2t
y1^prime prime(t) = 4 e^-2t
Agora, substituindo na equação:
4 e^-2t + 5 (-2 e^-2t) + 6 e^-2t = 0
4 e^-2t - 10 e^-2t + 6 e^-2t = 0
(4 - 10 + 6) e^-2t = 0
0 = 0
Portanto, y1(t) é uma solução da equação.

Passo 4

Agora, vamos verificar y2(t) = e^-3t .
Calculando as derivadas:
y2^prime(t) = -3 e^-3t
y2^prime prime(t) = 9 e^-3t
Substituindo na equação:
9 e^-3t + 5 (-3 e^-3t) + 6 e^-3t = 0
9 e^-3t - 15 e^-3t + 6 e^-3t = 0
(9 - 15 + 6) e^-3t = 0
0 = 0
Assim, y2(t) também é uma solução da equação.

Passo 5

As soluções encontradas, y1(t) = e^-2t e y2(t) = e^-3t , são chamadas de soluções fundamentais porque são soluções lineares independentes que formam a base geral das soluções da equação diferencial. Isso significa que qualquer solução geral pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções.

Passo 6

Parte (b): Resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) com y(0) = 0 e y^prime(0) = 1 .
Sabemos que a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções fundamentais:
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t
Onde C1 e C2 são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 7

Primeiro, aplicamos a condição y(0) = 0 :
0 = C1 e^0 + C2 e^0
0 = C1 + C2
Isso nos dá a equação:
C1 + C2 = 0 (1)

Passo 8

Agora, calculamos a derivada de y(t) :
y^prime(t) = -2 C1 e^-2t - 3 C2 e^-3t
Aplicamos a condição y^prime(0) = 1 :
1 = -2 C1 e^0 - 3 C2 e^0
1 = -2 C1 - 3 C2
Isso nos dá a segunda equação:
-2 C1 - 3 C2 = 1 (2)

Passo 9

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 0 (1) -2 C1 - 3 C2 = 1 (2)
Vamos resolver esse sistema.

Passo 10

Da equação (1), podemos expressar C1 em função de C2 :
C1 = -C2
Substituímos isso na equação (2):
-2 (-C2) - 3 C2 = 1
2 C2 - 3 C2 = 1
- C2 = 1
C2 = -1
E, consequentemente:
C1 = -(-1) = 1

Passo 11

Agora que encontramos C1 = 1 e C2 = -1 , substituímos esses valores na solução geral:
y(t) = 1 cdot e^-2t -1 cdot e^-3t
y(t) = e^-2t - e^-3t

Resposta

A solução do PVI com y(0) = 0 e y^prime(0) = 1 é:
y(t) = e^-2t - e^-3t

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