(a) Verifique que e são soluções fundamentais.
(b) Resolva o PVI com e
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão que você trouxe. Temos a equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares homogêneas, soluções fundamentais e condições iniciais. Vamos verificar se as funções dadas são soluções e depois resolver o problema com as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Parte (a): Verificar se e são soluções fundamentais.
Primeiro, precisamos confirmar se essas funções realmente satisfazem a equação diferencial. Isso significa que, substituindo e na equação, ambas devem tornar a equação verdadeira (igual a zero).
Passo 3
Vamos substituir na equação.
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na equação:
Portanto, é uma solução da equação.
Passo 4
Agora, vamos verificar .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Assim, também é uma solução da equação.
Passo 5
As soluções encontradas, e , são chamadas de soluções fundamentais porque são soluções lineares independentes que formam a base geral das soluções da equação diferencial. Isso significa que qualquer solução geral pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções.
Passo 6
Parte (b): Resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) com e .
Sabemos que a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções fundamentais:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 7
Primeiro, aplicamos a condição :
Isso nos dá a equação:
Passo 8
Agora, calculamos a derivada de :
Aplicamos a condição :
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 9
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 10
Da equação (1), podemos expressar C1 em função de C2 :
C1 = -C2
Substituímos isso na equação (2):
-2 (-C2) - 3 C2 = 1
2 C2 - 3 C2 = 1
- C2 = 1
C2 = -1
E, consequentemente:
C1 = -(-1) = 1
Passo 11
Agora que encontramos C1 = 1 e C2 = -1 , substituímos esses valores na solução geral: