Considere a equação
(a) Verifique que
e
são soluções fundamentais.
(b) Resolva o PVI com
e
(b) Resolva o PVI com
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de equações diferenciais! A questão nos apresenta a equação
e pede duas coisas:
a) Verificar se e
são soluções fundamentais.
b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com e
.
a) Verificar se
b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com
Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, encontrar soluções gerais e aplicar condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
e
são soluções da equação
.
Para verificar isso, vamos derivar
e
duas vezes e substituir na equação.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação:
Portanto,
é uma solução da equação.
Passo 4
Agora, calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação:
Portanto,
também é uma solução da equação.
Passo 5
Com isso, mostramos que
e
são soluções da equação diferencial dada. Além disso, como essas funções são linearmente independentes, elas formam um conjunto de soluções fundamentais.
Passo 6
Agora, vamos resolver o PVI com as condições iniciais
e
.
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções fundamentais:
onde
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Primeiro, aplicamos a condição
:
Sabendo que
e
:
Então:
Passo 8
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicamos a condição
:
Então:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: