Considere a equação
y^prime prime(t)+16 y(t)=0
(a) Verifique que y1(t)=cos (4 t) e y2(t)=sen(4 t) são soluções fundamentais.
(b) Resolva o PVI com y(0)=1 e y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de equações diferenciais! A questão nos apresenta a equação y''(t) + 16y(t) = 0 e pede duas coisas:
a) Verificar se y1(t) = cos(4t) e y2(t) = sin(4t) são soluções fundamentais.
b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com y(0) = 1 e y'(0) = 2 .
Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, encontrar soluções gerais e aplicar condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se y1(t) = cos(4t) e y2(t) = sin(4t) são soluções da equação y''(t) + 16y(t) = 0 .
Para verificar isso, vamos derivar y1(t) e y2(t) duas vezes e substituir na equação.

Passo 3

Calculando as derivadas de y1(t) = cos(4t) :
Primeira derivada:
y1'(t) = -4sin(4t)
Segunda derivada:
y1''(t) = -16cos(4t)
Substituindo na equação:
y1''(t) + 16y1(t) = -16cos(4t) + 16cos(4t) = 0
Portanto, y1(t) é uma solução da equação.

Passo 4

Agora, calculando as derivadas de y2(t) = sin(4t) :
Primeira derivada:
y2'(t) = 4cos(4t)
Segunda derivada:
y2''(t) = -16sin(4t)
Substituindo na equação:
y2''(t) + 16y2(t) = -16sin(4t) + 16sin(4t) = 0
Portanto, y2(t) também é uma solução da equação.

Passo 5

Com isso, mostramos que y1(t) = cos(4t) e y2(t) = sin(4t) são soluções da equação diferencial dada. Além disso, como essas funções são linearmente independentes, elas formam um conjunto de soluções fundamentais.

Passo 6

Agora, vamos resolver o PVI com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2 .
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções fundamentais:
y(t) = C1cos(4t) + C2sin(4t)
onde C1 e C2 são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Primeiro, aplicamos a condição y(0) = 1 :
y(0) = C1cos(0) + C2sin(0)
Sabendo que cos(0) = 1 e sin(0) = 0 :
1 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0
Então:
C1 = 1

Passo 8

Agora, derivamos a solução geral para encontrar y'(t) :
y'(t) = -4C1sin(4t) + 4C2cos(4t)
Aplicamos a condição y'(0) = 2 :
y'(0) = -4C1sin(0) + 4C2cos(0)
2 = -4C1 cdot 0 + 4C2 cdot 1
2 = 4C2
Então:
C2 = 24 = 12

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = cos(4t) + 12sin(4t)

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