Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x 1 tan ^-1(2x-1)

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais e a existência do limite
limxto1arctan!l(tfrac2x-1r).
O conteúdo envolve comportamento de arctan(u) quando utopminfty, pois sabemos que
limuto+inftyarctan(u)=tfracpi2 e
limuto-inftyarctan(u)=-tfracpi2.

Passo 2

Observamos que em x=1 o argumento
tfrac2x-1
torna-se infinito em módulo, mas com sinal dependente de como nos aproximamos de 1. Logo precisamos calcular
limxto1^- e limxto1^+.

Passo 3

Para xto1^- temos x-1<0 pequeno, então
tfrac2x-1to -infty. Como
arctan(u)to -tfracpi2 quando uto -infty, segue
limxto1^-arctan!l(tfrac2x-1r) =,-tfracpi2

Passo 4

Para xto1^+ temos x-1>0 pequeno, então
tfrac2x-1to +infty. Como
arctan(u)to tfracpi2 quando uto +infty, segue
limxto1^+arctan!l(tfrac2x-1r) =,tfracpi2

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes
l(-tfracpi2neqtfracpi2r), o limite
limxto1arctan!l(tfrac2x-1r)
não existe.

Resposta

limxto1^-arctan!l(tfrac2x-1r)=-tfracpi2,
limxto1^+arctan!l(tfrac2x-1r)=tfracpi2,
e portanto o limite em x=1 não existe.

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