Resolva apenas um dos seguintes PVIs:
lx y^prime+y=3 x^5 y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
x,y'+y=3x^5, y(1)=1,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos reescrever na forma padrão e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por x (supondo xneq0) para obter
y' + 1x,y = 3x^4
Aqui o coeficiente de y é p(x)=1/x, então o fator integrante é
mu(x) = expl(integral 1x,dxr) = exp(ln|x|) = x

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x temos
x,y' + y = 3x^5,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada de x,y, ou seja
ddxl(x,yr) = 3x^5

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y = integral 3x^5,dx = 36,x^6 + C = x^62 + C
Assim a solução geral é
y(x) = x^62x + Cx = x^52 + Cx

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1 = 1^52 + C1 Longrightarrow 1 = tfrac12 + C Longrightarrow C = tfrac12

Passo 6

Substituindo C=tfrac12 na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) = x^52 + 1/2x = x^6 + 12x

Resposta

y(x) = x^6 + 12x

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