Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa m e energia potencial
V(x)=12 K x^2=12 m omega^2, omega=raizKm
Considere as funções definidas por
Psin(x, t)=Cn e^-i En thbar psin(x), psin(x)=e^-m omega x^22 hbar Hn(x), n=0,1, ldots, infty,
onde Hn(x) são os polinômios de Hermite.
A partir da transformada de fourrier (na variável x ) da função de onda, obtenha as funções de onda barPsin(t, p) do momento p para os níveis de energia n=1,2,3.

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: é o oscilador harmônico quântico unidimensional, com potencial
V(x)=tfrac12momega^2x^2
e as auto‐funções no espaço são
Psin(x,t)=Cn,e^-iEnt/hbar,psin(x), psin(x)=e^-momega x^22hbar,Hnl(raiztfracmomegahbar,xr),
Aqui Hn são os polinômios de Hermite e En=hbaromega(n+tfrac12).
O que vamos precisar:
  1. A definição da transformada de Fourier (variável xto p).
  2. A propriedade de que a transformada de Fourier de um “Gauss+Hermite” dá de novo um “Gauss+Hermite” com um fator (-i)^n.
  3. Os polinômios H1,H2,H3 e as normais Cn.

Passo 2

Definimos a wave­function no espaço de momento por
$$\bar\Psi_n(p,t)=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}
e^{-\tfrac{i}{\hbar}px},\Psi_n(x,t),dx,. barPsin(p,t)=1raiz2pihbarintegral-infty^infty e^-tfracihbarpx,Psin(x,t),dx, \bar\Psi_n(p,t)=e^{-iE_nt/\hbar},\bar\psi_n§,\quad
\bar\psi_n§=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int e^{-\tfrac{i}{\hbar}px},\psi_n(x),dx,. Psin(x,t)=e^-iEnt/hbarpsin(x)\bar\psi_n§=(-i)^n,( \tfrac1{\pi,m\omega\hbar} ){!1/4},\frac1{\sqrt{2n,n!}};
H_n!\Bigl(\tfrac{p}{\sqrt{m\omega\hbar}}\Bigr);
\exp!\Bigl[-\tfrac{p^2}{2,m\omega\hbar}\Bigr],. $$
Pronto, essa é a forma geral. Agora é só pegar barPsin(p,t)=e^-iEnt/hbar,barpsin(p), barpsin(p)=1raiz2pihbarintegral e^-tfracihbarpx,psin(x),dx, .

Passo 3

  1. Polinômio: H1(x)=2x.
  2. Fator de normalização: 1/raiz2^1,1!=1/raiz2.
  3. Fator (-i)^1=-i.
    Logo
barpsi1(p) =-i,( tfrac1pi,momegahbar )^1/4,1raiz2; l[2,tfracpraizmomegahbarr]; e^-tfracp^22momegahbar =-i,( tfrac1pi,momegahbar )^1/4,raiz2, tfracpraizmomegahbar; e^-tfracp^22momegahbar,
Incluindo o tempo:
$$\bar\Psi_1(p,t)
=e^{-iE_1t/\hbar},\bar\psi_1§,. $$

Passo 4

  1. H2(x)=4x^2-2.
  2. 1/raiz2^2,2!=1/(2raiz2).
  3. (-i)^2=+1.
    Então
barpsi2(p) =( tfrac1pi,momegahbar )^1/4,12raiz2; l[4,tfracp^2momegahbar-2r]; e^-tfracp^22momegahbar,
E com o fator de tempo e^-iE2t/hbar.

Passo 5

  1. H3(x)=8x^3-12x.
  2. 1/raiz2^3,3!=1/(4raiz3).
  3. (-i)^3=+i.
    Logo
barpsi3(p) =i,( tfrac1pi,momegahbar )^1/4,14raiz3; l[8,tfracp^3(momegahbar)^3/2 -12,tfracpraizmomegahbarr]; e^-tfracp^22momegahbar,,
multiplicado por e^-iE3t/hbar.

Resposta

Para resumir, as funções de onda no espaço de momento são:
boxed barPsi1(p,t)&=-,il(tfrac1pi,momegahbarr)^!1/4raiz2,praizmomegahbar ,e^-tfracp^22momegahbar,e^-iE1t/hbar,[6pt] barPsi2(p,t)&=l(tfrac1pi,momegahbarr)^!1/412raiz2 l(4p^2momegahbar-2r), e^-tfracp^22momegahbar,e^-iE2t/hbar,[6pt] barPsi3(p,t)&=,il(tfrac1pi,momegahbarr)^!1/414raiz3 l(8p^3(momegahbar)^3/2-12praizmomegahbarr) e^-tfracp^22momegahbar,e^-iE3t/hbar

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