Considere a equação de Schrödinger para um oscilador unidimensional com massa
e energia potencial
Considere as funções definidas por
onde
são os polinômios de Hermite.
A partir da transformada de fourrier (na variável
) da função de onda, obtenha as funções de onda
do momento
para os níveis de energia
.
A partir da transformada de fourrier (na variável
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem: é o oscilador harmônico quântico unidimensional, com potencial
e as auto‐funções no espaço são
Aqui
são os polinômios de Hermite e
.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A definição da transformada de Fourier (variável
). - A propriedade de que a transformada de Fourier de um “Gauss+Hermite” dá de novo um “Gauss+Hermite” com um fator
. - Os polinômios
e as normais .
Passo 2
Definimos a wavefunction no espaço de momento por
$$\bar\Psi_n(p,t)=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}
e^{-\tfrac{i}{\hbar}px},\Psi_n(x,t),dx,.
\bar\Psi_n(p,t)=e^{-iE_nt/\hbar},\bar\psi_n§,\quad
\bar\psi_n§=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int e^{-\tfrac{i}{\hbar}px},\psi_n(x),dx,.
\bar\psi_n§=(-i)^n,( \tfrac1{\pi,m\omega\hbar} ){!1/4},\frac1{\sqrt{2n,n!}};
H_n!\Bigl(\tfrac{p}{\sqrt{m\omega\hbar}}\Bigr);
\exp!\Bigl[-\tfrac{p^2}{2,m\omega\hbar}\Bigr],. $$
Pronto, essa é a forma geral. Agora é só pegar .
Pronto, essa é a forma geral. Agora é só pegar
Passo 3
- Polinômio:
. - Fator de normalização:
. - Fator
.
Logo
Incluindo o tempo:
$$\bar\Psi_1(p,t)
=e^{-iE_1t/\hbar},\bar\psi_1§,. $$
Passo 4
-
. -
. -
.
Então
E com o fator de tempo
.
Passo 5
-
. -
. -
.
Logo
multiplicado por
.
Resposta
Para resumir, as funções de onda no espaço de momento são: