Considere a equação do segundo grau
que após uma mudança de coordenadas em
é escrita na forma
Conclua que, se
não pode ocorrer
.
Passo 1
O enunciado dá a curva de segundo grau em
cuja parte quadrática podemos ver como a forma
Associamos a essa forma o matriz simétrica
Queremos estudar o que acontece aos autovalores
lambda1,lambda2 de
M após mudar de coordenadas para
(u,v) .]
Passo 2
Pelo Teorema Espectral, como
M é real e simétrica, existe uma matriz ortogonal
P tal que
Fazendo a mudança de variável
a parte quadrática fica diagonalizada e a equação em
(u,v) toma a forma
Passo 3
Se suponhêssemos
lambda1=0 e
lambda2=0 , então a forma quadrática diagonalizada seria identicamente zero, ou seja,\r
o que implica
M=0 e, portanto,
A=0 ,
B=0 e
C=0 .
Passo 4
Mas isso viola a hipótese
A^2+B^2+C^2neq0 . Logo não é possível ter simultaneamente
lambda1=0 e
lambda2=0 .
Resposta
Não pode ocorrer
lambda1=lambda2=0 quando
A^2+B^2+C^2neq0 .