Considere a equação do segundo grau
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0,
que após uma mudança de coordenadas em E^2 é escrita na forma
A^prime u^2+B^prime u v+C^prime v^2+D^prime u+E^prime v+F^prime=0
Conclua que, se A^2+B^2+C^2 neq 0 não pode ocorrer lambda1=lambda2=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva de segundo grau em (x,y)
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0,
cuja parte quadrática podemos ver como a forma
Q(x,y)=A x^2+B x y+C y^2
Associamos a essa forma o matriz simétrica
M=A & B2 [6pt] B2 & C
Queremos estudar o que acontece aos autovalores lambda1,lambda2 de M após mudar de coordenadas para (u,v).]

Passo 2

Pelo Teorema Espectral, como M é real e simétrica, existe uma matriz ortogonal P tal que
P^T M,P = lambda1 & 0 [4pt] 0 & lambda2
Fazendo a mudança de variável
x[3pt]y = Pu[3pt]v,
a parte quadrática fica diagonalizada e a equação em (u,v) toma a forma
lambda1,u^2+lambda2,v^2+D',u+E',v+F'=0 ]

Passo 3

Se suponhêssemos lambda1=0 e lambda2=0, então a forma quadrática diagonalizada seria identicamente zero, ou seja,\r
lambda1,u^2+lambda2,v^2=0 forall(u,v), \r
o que implica M=0 e, portanto, A=0, B=0 e C=0.

Passo 4

Mas isso viola a hipótese A^2+B^2+C^2neq0. Logo não é possível ter simultaneamente lambda1=0 e lambda2=0.

Resposta

Não pode ocorrer lambda1=lambda2=0 quando A^2+B^2+C^2neq0.

Exercícios relacionados