Considere a equação do segundo grau
que após uma mudança de coordenadas em
é escrita na forma
Mostre que
é a soma da raízes de (3)e
é o produto delas.
Passo 1
Estamos tratando de uma cônica genérica
e sabemos que, após rotação de eixos, a parte quadrática vira
O coeficiente cruzado some (
) exatamente quando diagonalizamos a forma bilinear associada. As raízes de (
) são esses dois autovalores de
]
Passo 2
Para encontrar os autovalores
de
montamos o polinômio característico
]
Passo 3
Calculemos o determinante:
Passo 4
Neste polinômio de segundo grau em
, as duas raízes
satisfazem as relações de Viète:
Como
vemos que a soma das raízes de (
) é
e o produto é
.
Resposta
A soma das raízes de (
) é
e o produto é
.