Considere a equação do segundo grau
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0,
que após uma mudança de coordenadas em E^2 é escrita na forma
A^prime u^2+B^prime u v+C^prime v^2+D^prime u+E^prime v+F^prime=0
Mostre que A+C é a soma da raízes de (3)e -B^2-4 A C4 é o produto delas.

Passo 1

Estamos tratando de uma cônica genérica
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
e sabemos que, após rotação de eixos, a parte quadrática vira
A'u^2+C'v^2+dots=0
O coeficiente cruzado some ( B'=0) exatamente quando diagonalizamos a forma bilinear associada. As raízes de ( 3) são esses dois autovalores de
M=A & B/2[6pt]B/2 & C
]

Passo 2

Para encontrar os autovalores lambda de M montamos o polinômio característico
detl(M-lambda Ir) =det!A-lambda & B/2[3pt]B/2 & C-lambda =0
]

Passo 3

Calculemos o determinante:
(A-lambda)(C-lambda)-l(B2r)^2 =0 Longrightarrow lambda^2-(A+C),lambda+l(AC-tfracB^24r)=0

Passo 4

Neste polinômio de segundo grau em lambda, as duas raízes lambda1,lambda2 satisfazem as relações de Viète:
lambda1+lambda2=A+C, lambda1,lambda2=AC-tfracB^24
Como
AC-tfracB^24 =-B^2-4AC4,
vemos que a soma das raízes de ( 3) é A+C e o produto é -tfracB^2-4AC4.

Resposta

A soma das raízes de ( 3) é A+C e o produto é -tfracB^2-4AC4.

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