Questão 0.2. ( V A L O R=2.0 )
Determine a distância entre o ponto P0=(1 ; 1 ; 2) e o plano pi: 2 x-y+2 z+4=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto P0 = (1, 1, 2) e o plano pi: 2x - y + 2z + 4 = 0 . Para isso, vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e um plano. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação do plano e aplicar a fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular essa distância. A distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é dada por:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Aqui, A , B , C são os coeficientes das variáveis na equação do plano, e D é o termo constante.

Passo 3

Vamos identificar os valores na nossa equação do plano:
2x - y + 2z + 4 = 0
Comparando com Ax + By + Cz + D = 0 , temos:
  • A = 2
  • B = -1
  • C = 2
  • D = 4
E o ponto P0 = (1, 1, 2) tem:
  • x0 = 1
  • y0 = 1
  • z0 = 2

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
D = |2 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 2 cdot 2 + 4|raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Calculando o numerador:
2 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 2 cdot 2 + 4 = 2 - 1 + 4 + 4 = 9
Então, o valor absoluto é |9| = 9 .

Passo 6

Agora, calculando o denominador:
raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 7

Finalmente, substituindo tudo na fórmula:
D = 93 = 3

Resposta

A distância entre o ponto P0 = (1, 1, 2) e o plano pi: 2x - y + 2z + 4 = 0 é 3 unidades.

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