Considere a equação do segundo grau
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0,
que após uma mudança de coordenadas em E^2 é escrita na forma
A^prime u^2+B^prime u v+C^prime v^2+D^prime u+E^prime v+F^prime=0
Mostre que as raízes lambda1 e lambda2 da equação
|cc A-lambda & B / 2 B / 2 & C-lambda |=0,
são reais, quaisquer que sejam A, B e C.

Passo 1

O enunciado parte da forma geral de uma cônica
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
e diz que, após uma rotação de eixos, ela fica
A' u^2+B' u v+C' v^2+D' u+E' v+F'=0
Isso equivale a diagonalizar a forma quadrática associada à matriz simétrica
M = A & B2[6pt] B2 & C,
isto é, calcular os seus autovalores lambda pela equação característica
det!A-lambda & B2[3pt] B2 & C-lambda=0 ]

Passo 2

Escrevemos explicitamente a equação característica:
A-lambda & B2[6pt] B2 & C-lambda =0 Longrightarrow (A-lambda)(C-lambda)-B^24=0 ]

Passo 3

Expandindo o produto, obtemos um polinômio quadrático em lambda:
(A-lambda)(C-lambda)-tfracB^24 =lambda^2-(A+C),lambda+l(AC-tfracB^24r)=0

Passo 4

O discriminante De<a desse polinômio é
De<a = (A+C)^2-4l(AC-tfracB^24r) = A^2+2AC+C^2-4AC+B^2 = (A-C)^2 + B^2
Como (A-C)^2>=0 e B^2>=0, segue que
De<a = (A-C)^2+B^2 >= 0

Passo 5

Quando o discriminante é não negativo, as raízes
lambda1,2 =(A+C)pmraizDe<a2
são números reais. Portanto, quaisquer que sejam A,B,C, temos lambda1,lambda2inR.

Resposta

As raízes lambda1 e lambda2 são sempre reais, pois o discriminante De<a=(A-C)^2+B^2 é não negativo.

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