Considere a equação do segundo grau
que após uma mudança de coordenadas em
é escrita na forma
Mostre que as raízes
e
da equação
são reais, quaisquer que sejam
A, B e
C .
Passo 1
O enunciado parte da forma geral de uma cônica
e diz que, após uma rotação de eixos, ela fica
Isso equivale a diagonalizar a forma quadrática associada à matriz simétrica
isto é, calcular os seus autovalores
lambda pela equação característica
Passo 2
Escrevemos explicitamente a equação característica:
Passo 3
Expandindo o produto, obtemos um polinômio quadrático em
lambda :
Passo 4
O discriminante
De<a desse polinômio é
Como
(A-C)^2>=0 e
B^2>=0 , segue que
Passo 5
Quando o discriminante é não negativo, as raízes
são números reais. Portanto, quaisquer que sejam
A,B,C , temos
lambda1,lambda2inR .
Resposta
As raízes
lambda1 e
lambda2 são sempre reais, pois o discriminante
De<a=(A-C)^2+B^2 é não negativo.