que após uma mudança de coordenadas em é escrita na forma
Prove que os números e são invariantes por rotação, isto é, se (1) é transformada em (2) por meio de uma rotação, então
Passo 1
O enunciado trata de uma cônica genérica em ,
e afirma que, após uma rotação de coordenadas , obtém-se
Queremos mostrar que os números ; e ; permanecem os mesmos após a rotação. O conteúdo principal é álgebra linear de formas quadráticas e a invariância de traço e determinante sob similaridade.
Passo 2
Extraímos a parte quadrática em e a escrevemos como forma bilinear usando a matriz simétrica
pois
A x^2+Bxy+C y^2 = x & y ;M; x y ]
Passo 3
Uma rotação no plano é representada por uma matriz ortogonal
R = costheta & -sintheta [4pt] sintheta & costheta ,
de modo que ;(x,y)^T = R,(u,v)^T. A nova forma quadrática em (u,v) usa
M' = R^T M R
Os coeficientes de u^2,uv,v^2 na equação transformada são justamente
A' = M'11, tfracB'2 = M'12, C' = M'22 ]
Passo 4
Como M' é obtida de M por similaridade, o traço é invariável:
tr(M') = tr(M)
Mas tr(M)=A+C
e tr(M')=A'+C'.
Logo
A+C = A' + C'
Passo 5
Do mesmo modo, o determinante de uma matriz é preservado por similaridade: