Considere a equação do segundo grau
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0,
que após uma mudança de coordenadas em E^2 é escrita na forma
A^prime u^2+B^prime u v+C^prime v^2+D^prime u+E^prime v+F^prime=0
Prove que os números A+C e B^2-4 A C são invariantes por rotação, isto é, se (1) é transformada em (2) por meio de uma rotação, então
A+C=A^prime+C^prime e B^2-4 A C=B^prime 2-4 A^prime C^prime

Passo 1

O enunciado trata de uma cônica genérica em E^2,
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0,
e afirma que, após uma rotação de coordenadas (x,y)mapsto(u,v), obtém-se
A' u^2+B' u v+C' v^2+D' u+E' v+F'=0
Queremos mostrar que os números ;A+C; e ;B^2-4AC; permanecem os mesmos após a rotação. O conteúdo principal é álgebra linear de formas quadráticas e a invariância de traço e determinante sob similaridade.

Passo 2

Extraímos a parte quadrática em (x,y) e a escrevemos como forma bilinear usando a matriz simétrica
M= A & tfracB2[6pt] tfracB2 & C ,
pois
A x^2+Bxy+C y^2 = x & y ;M; x y ]

Passo 3

Uma rotação no plano é representada por uma matriz ortogonal
R = costheta & -sintheta [4pt] sintheta & costheta ,
de modo que
;(x,y)^T = R,(u,v)^T. A nova forma quadrática em (u,v) usa
M' = R^T M R
Os coeficientes de u^2,uv,v^2 na equação transformada são justamente
A' = M'11, tfracB'2 = M'12, C' = M'22 ]

Passo 4

Como M' é obtida de M por similaridade, o traço é invariável:
tr(M') = tr(M)
Mas
tr(M)=A+C
e
tr(M')=A'+C'.
Logo
A+C = A' + C'

Passo 5

Do mesmo modo, o determinante de uma matriz é preservado por similaridade:
det(M') = det(M)
Temos
det(M) = A,C - l(tfracB2r)^2 ;=;,4AC - B^2,4,
e
det(M') = A',C' - l(tfracB'2r)^2 ;=;,4A'C' - B'^2,4
Igualando os determinantes e multiplicando por 4, vem
4AC - B^2 = 4A'C' - B'^2,
que se reescreve como
B^2 - 4AC = B'^2 - 4A'C'

Resposta

A + C = A' + C'
B^2 - 4AC = B'^2 - 4A'C'

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