Considere a equação do segundo grau
que após uma mudança de coordenadas em
é escrita na forma
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar como os coeficientes das coordenadas lineares (D e E) de uma equação do segundo grau mudam quando a gente gira o sistema de coordenadas. A matéria envolvida aqui é sobre transformação de coordenadas, especificamente rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma rotação afeta as variáveis x e y, e como isso se reflete nos coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma rotação de coordenadas. Quando a gente gira o sistema em um ângulo θ, as novas coordenadas u e v estão relacionadas com as antigas x e y pelas fórmulas:
Essas fórmulas nos dizem como expressar u e v em termos de x e y após a rotação.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões de u e v na equação original. A equação original é:
Ao substituir x e y em termos de u e v, a equação fica na nova forma:
Nosso objetivo é descobrir como D’ e E’ se relacionam com D e E.
Passo 4
Focando nos termos lineares da equação, vamos considerar apenas D x + E y. Substituindo x e y pelas expressões em termos de u e v, temos:
Passo 5
Distribuindo os termos, fica:
Agrupando os termos de u e v:
Passo 6
Comparando com a forma rotacionada da equação, percebemos que esses coeficientes correspondem a D’ e E’. Portanto, podemos escrever:
Passo 7
Escrevendo isso de forma matricial, temos:
Resposta
Então, mostramos que: