Considere a equação do segundo grau
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0,
que após uma mudança de coordenadas em E^2 é escrita na forma
A^prime u^2+B^prime u v+C^prime v^2+D^prime u+E^prime v+F^prime=0
Mostre que
[l D^prime E^prime ]=[cc cos theta & -sin theta sin theta & cos theta ][l D E ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar como os coeficientes das coordenadas lineares (D e E) de uma equação do segundo grau mudam quando a gente gira o sistema de coordenadas. A matéria envolvida aqui é sobre transformação de coordenadas, especificamente rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma rotação afeta as variáveis x e y, e como isso se reflete nos coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma rotação de coordenadas. Quando a gente gira o sistema em um ângulo θ, as novas coordenadas u e v estão relacionadas com as antigas x e y pelas fórmulas:
u = x cos theta - y sin theta
v = x sin theta + y cos theta
Essas fórmulas nos dizem como expressar u e v em termos de x e y após a rotação.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões de u e v na equação original. A equação original é:
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
Ao substituir x e y em termos de u e v, a equação fica na nova forma:
A' u^2 + B' u v + C' v^2 + D' u + E' v + F' = 0
Nosso objetivo é descobrir como D’ e E’ se relacionam com D e E.

Passo 4

Focando nos termos lineares da equação, vamos considerar apenas D x + E y. Substituindo x e y pelas expressões em termos de u e v, temos:
D x + E y = D (u cos theta + v sin theta) + E (-u sin theta + v cos theta)

Passo 5

Distribuindo os termos, fica:
D x + E y = D u cos theta + D v sin theta - E u sin theta + E v cos theta
Agrupando os termos de u e v:
= (D cos theta - E sin theta) u + (D sin theta + E cos theta) v

Passo 6

Comparando com a forma rotacionada da equação, percebemos que esses coeficientes correspondem a D’ e E’. Portanto, podemos escrever:
D' = D cos theta - E sin theta
E' = D sin theta + E cos theta

Passo 7

Escrevendo isso de forma matricial, temos:
D' E' = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta D E

Resposta

Então, mostramos que:
D' E' = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta D E

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