A gente vai resolver esse sistema usando dois métodos iterativos: o de Jacobi e o de Gauss-Seidel. Para isso, vamos utilizar uma tolerância de epsilon = 10^-3 na norma linfty , que basicamente nos diz quando parar as iterações porque a solução está próxima o suficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de uma forma que cada variável ( x1, x2, x3 ) esteja isolada em uma das equações. Isso é importante para aplicar os métodos iterativos. Então, temos:
Vamos começar com o método de Jacobi. Nesse método, a gente atualiza todas as variáveis simultaneamente usando os valores da iteração anterior. Vamos definir uma aproximação inicial. Vamos supor que todas as variáveis começam em zero:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0
Passo 4
Agora, aplicamos as fórmulas para encontrar os valores na próxima iteração:
Após várias iterações, verificamos que as mudanças entre os valores das variáveis ficam menores que epsilon = 10^-3 . Assim, a solução aproximada pelo método de Jacobi é:
Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas usando o método de Gauss-Seidel. A diferença é que, nesse método, a gente atualiza as variáveis uma de cada vez e usa os novos valores imediatamente nas próximas atualizações dentro da mesma iteração.
Passo 9
Começamos com os mesmos valores iniciais:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0
Passo 10
Aplicamos as fórmulas atualizando uma variável de cada vez: