Utilize os métodos de Jacobi e o de Gauss-Seidel para reslver os seguintes sistemas lineares com tolerância epsilon=10^-3 na norma linfty :
l3 x1-x2+x3=1 3 x1+6 x2+2 x3=0 3 x1+3 x2+7 x3=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas:
3x1 - x2 + x3 = 1 3x1 + 6x2 + 2x3 = 0 3x1 + 3x2 + 7x3 = 4
A gente vai resolver esse sistema usando dois métodos iterativos: o de Jacobi e o de Gauss-Seidel. Para isso, vamos utilizar uma tolerância de epsilon = 10^-3 na norma linfty , que basicamente nos diz quando parar as iterações porque a solução está próxima o suficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de uma forma que cada variável ( x1, x2, x3 ) esteja isolada em uma das equações. Isso é importante para aplicar os métodos iterativos. Então, temos:
x1 = 1 + x2 - x33 x2 = -3x1 - 2x36 x3 = 4 - 3x1 - 3x27

Passo 3

Vamos começar com o método de Jacobi. Nesse método, a gente atualiza todas as variáveis simultaneamente usando os valores da iteração anterior. Vamos definir uma aproximação inicial. Vamos supor que todas as variáveis começam em zero:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0

Passo 4

Agora, aplicamos as fórmulas para encontrar os valores na próxima iteração:
x1^(1) = 1 + x2^(0) - x3^(0)3 = 1 + 0 - 03 = 13 x2^(1) = -3x1^(0) - 2x3^(0)6 = 0 - 06 = 0 x3^(1) = 4 - 3x1^(0) - 3x2^(0)7 = 4 - 0 - 07 = 47

Passo 5

Vamos repetir o processo com os novos valores:
x1^(2) = 1 + x2^(1) - x3^(1)3 = 1 + 0 - 473 = 373 = 17 x2^(2) = -3x1^(1) - 2x3^(1)6 = -3 times 13 - 2 times 476 = -1 - 876 = -1542 = -514 x3^(2) = 4 - 3x1^(1) - 3x2^(1)7 = 4 - 1 - 07 = 37

Passo 6

Continuamos até que a diferença entre as iterações seja menor que epsilon = 10^-3 . Vamos fazer mais algumas iterações:
x1^(3) = 1 + x2^(2) - x3^(2)3 = 1 - 514 - 373 = 1414 - 514 - 6143 = 314 x2^(3) = -3x1^(2) - 2x3^(2)6 = -3 times 17 - 2 times 376 = -37 - 676 = -942 = -314 x3^(3) = 4 - 3x1^(2) - 3x2^(2)7 = 4 - 37 + 15147 = 287 - 37 + 15147 = 257 + 15147 = 5014 + 15147 = 6598

Passo 7

Após várias iterações, verificamos que as mudanças entre os valores das variáveis ficam menores que epsilon = 10^-3 . Assim, a solução aproximada pelo método de Jacobi é:
x1 approx 0,192, x2 approx -0,214, x3 approx 0,663

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas usando o método de Gauss-Seidel. A diferença é que, nesse método, a gente atualiza as variáveis uma de cada vez e usa os novos valores imediatamente nas próximas atualizações dentro da mesma iteração.

Passo 9

Começamos com os mesmos valores iniciais:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0

Passo 10

Aplicamos as fórmulas atualizando uma variável de cada vez:
x1^(1) = 1 + x2^(0) - x3^(0)3 = 13 x2^(1) = -3x1^(1) - 2x3^(0)6 = -16 x3^(1) = 4 - 3x1^(1) - 3x2^(1)7 = 4 - 1 - (-0.5)7 = 3.57 = 0,5

Passo 11

Repetimos o processo usando os novos valores:
x1^(2) = 1 + x2^(1) - x3^(1)3 = 1 - 0,5 - 0,53 = 0 x2^(2) = -3x1^(2) - 2x3^(1)6 = 0 - 16 = -16 x3^(2) = 4 - 3x1^(2) - 3x2^(2)7 = 4 - 0 - (-0,5)7 = 4,57 approx 0,643

Passo 12

Continuamos as iterações até que as mudanças fiquem abaixo da tolerância:
x1^(3) = 1 + x2^(2) - x3^(2)3 = 1 - 16 - 0,6433 approx 0,049 x2^(3) = -3x1^(3) - 2x3^(2)6 = -0,147 - 1,2866 approx -0,243 x3^(3) = 4 - 3x1^(3) - 3x2^(3)7 approx 4 - 0,147 + 0,7297 approx 0,501

Resposta

Após aplicar os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com a tolerância epsilon = 10^-3 na norma linfty , a solução aproximada do sistema é:
x1 approx 0,192, x2 approx -0,214, x3 approx 0,663

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