Utilize os métodos de Jacobi e o de Gauss-Seidel para reslver os seguintes sistemas lineares com tolerância
na norma
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel, usando tolerância
epsilon=10^-3 na norma infinito
|x^(k+1)-x^(k)|infty<epsilon .
Passo 2
Método de Jacobi: isolamos cada variável em função das outras na iteração
k :
Com chute inicial
x^(0)=(0,0,0) , calculamos até
|x^(k+1)-x^(k)|infty<10^-3 :
Iteração 1:
x^(1)=(0,9,,0.7,,0.6) , diferença
=0.9 .
Iteração 2:
x^(2)=(0.97,,0.91,,0.74) , diferença
=0.21 .
Iteração 3:
x^(3)=(0.991,,0.945,,0.782) , diferença
=0.042 .
Iteração 4:
x^(4)=(0.9945,,0.9555,,0.789) , diferença
=0.0105 .
Iteração 5:
x^(5)=(0.99555,,0.95725,,0.7911) , diferença
=0.0021 .
Iteração 6:
x^(6)=(0.995725,,0.957775,,0.79145) , diferença
=0.000525<10^-3 .
Logo, o método de Jacobi converge em 6 iterações para
;x1approx0.995725,;x2approx0.957775,;x3approx0.79145
Passo 3
Método de Gauss–Seidel: usamos valores já atualizados dentro da mesma iteração
k :
Com
x^(0)=(0,0,0) :
Iteração 1:
x^(1)=(0.9,,0.79,,0.758) , diferença
=0.9 .
Iteração 2:
x^(2)=(0.979,,0.9495,,0.7899) , diferença
=0.1595 .
Iteração 3:
x^(3)=(0.99495,,0.957475,,0.791495) , diferença
=0.01595 .
Iteração 4:
x^(4)=(0.9957475,,0.95787375,,0.79157475) , diferença
=0.0007975<10^-3 .
Assim, Gauss–Seidel converge em 4 iterações para
;x1approx0.9957475,;x2approx0.95787375,;x3approx0.79157475
Resposta
Jacobi:
6 iterações,
;(x1,x2,x3)approx(0.995725,;0.957775,;0.79145) .
Gauss–Seidel:4 iterações,
;(x1,x2,x3)approx(0.9957475,;0.95787375,;0.79157475) .
Gauss–Seidel: