(UF-BA) Considere a equação, na variável x, a x^2+b x+c=0 e a função quadrática dada por f(x)=a x^2+b x+c, com a, b e c números reais. Sabendo que uma raiz da equação ax^2+bx+c=0 é o número complexo de módulo raiz2 e argumento pi4 e que a imagem da função f(x)=a x^2+b x+c é o intervalo ]-infty,-1], calcule f(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação quadrática $ ax^{2} + bx + c = 0 $ e uma função quadrática $ f(x) = ax^{2} + bx + c $. Sabemos que uma das raízes dessa equação é um número complexo com módulo $ \sqrt{2} $ e argumento $ \frac{\pi}{4} $. Além disso, a imagem da função $ f(x) $ é o intervalo $ ]-\infty, -1] $. Nosso objetivo é calcular $ f(2) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos, propriedades das funções quadráticas e algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a raiz complexa fornecida. Um número complexo com módulo $ \sqrt{2} $ e argumento $ \frac{\pi}{4} $ pode ser escrito na forma polar como:
raiz2
Isso nos dá:
pi4

Passo 3

Sabemos que se os coeficientes da equação quadrática são reais e uma das raízes é $ z_1 = 1 + i $, então a outra raiz deve ser o conjugado complexo de $ z_1 $. Portanto:
z1 = 1 + i

Passo 4

Agora, podemos escrever a equação quadrática usando as raízes:
f(x) = a(x - z1)(x - z2)
Substituindo $ z_1 $ e $ z_2 $:
z1

Passo 5

Vamos expandir essa expressão:
f(x) = a [ (x - 1 - i)(x - 1 + i) ] = a [ (x - 1)^2 - (i)^2 ] = a [ x^2 - 2x + 1 + 1 ] = a(x^2 - 2x + 2)

Passo 6

Agora, sabemos que a imagem da função $ f(x) $ é $ ]-\infty, -1] $. Isso significa que a parábola abre para baixo e o valor máximo é $ -1 $. A forma geral de uma função quadrática é $ f(x) = ax^2 + bx + c $, e o vértice está em $ x = -\frac{b}{2a} $.

Passo 7

No nosso caso, $ f(x) = a(x^2 - 2x + 2) $, então:
f(x) = a(x^2 - 2x + 2)
O vértice está em:
b = -2a
E a coordenada $ y $ do vértice é $ -1 $. Então:
xv = -b2a = --2a2a = 1
Como $ f(1) = -1 $, temos:
y

Passo 8

Substituindo $ a = -1 $ na expressão de $ f(x) $:
a = -1

Passo 9

Finalmente, para encontrar $ f(2) $:
f(2)

Resposta

$ f(2) = -2 $

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