(UF-BA) Considere a equação, na variável
e a função quadrática dada por
, com
,
e c números reais. Sabendo que uma raiz da equação
é o número complexo de módulo
e argumento
e que a imagem da função
é o intervalo
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação quadrática $ ax^{2} + bx + c = 0 $ e uma função quadrática $ f(x) = ax^{2} + bx + c $. Sabemos que uma das raízes dessa equação é um número complexo com módulo $ \sqrt{2} $ e argumento $ \frac{\pi}{4} $. Além disso, a imagem da função $ f(x) $ é o intervalo $ ]-\infty, -1] $. Nosso objetivo é calcular $ f(2) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos, propriedades das funções quadráticas e algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a raiz complexa fornecida. Um número complexo com módulo $ \sqrt{2} $ e argumento $ \frac{\pi}{4} $ pode ser escrito na forma polar como:
Isso nos dá:
Passo 3
Sabemos que se os coeficientes da equação quadrática são reais e uma das raízes é $ z_1 = 1 + i $, então a outra raiz deve ser o conjugado complexo de $ z_1 $. Portanto:
Passo 4
Agora, podemos escrever a equação quadrática usando as raízes:
Substituindo $ z_1 $ e $ z_2 $:
Passo 5
Vamos expandir essa expressão:
Passo 6
Agora, sabemos que a imagem da função $ f(x) $ é $ ]-\infty, -1] $. Isso significa que a parábola abre para baixo e o valor máximo é $ -1 $. A forma geral de uma função quadrática é $ f(x) = ax^2 + bx + c $, e o vértice está em $ x = -\frac{b}{2a} $.
Passo 7
No nosso caso, $ f(x) = a(x^2 - 2x + 2) $, então:
O vértice está em:
E a coordenada $ y $ do vértice é $ -1 $. Então:
Como $ f(1) = -1 $, temos:
Passo 8
Substituindo $ a = -1 $ na expressão de $ f(x) $:
Passo 9
Finalmente, para encontrar $ f(2) $:
Resposta
$ f(2) = -2 $