Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
f(x)=2 x^2+4 x2+x^2 no intervalo [-1,5];
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de f(x)=2 x^3+3 x^2-12 x no intervalo [-3,3]. Inicialmente devemos encontrar os pontos críticos:
c f^prime(x)=6 x^2+6 x-12 6 x^2+6 x-12=0 Longrightarrow Longrightarrow x^2+x-2=0 Longrightarrow Longrightarrow x1=1, x2=-2
Agora devemos determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para tanto basta estudar o sinal de f^prime. Como f^prime é uma função quadrática cujo gráfico tem concavidade para cima, então f^prime(x)>0 para -3 <= x<-2 ou 1<x <= 3 e f^prime(x)<0 para -2<x<1 e assim x1=-2 é um тáximo local e x2=1 é um mínimo local. Como f está definida num intervalo fechado, basta calcular os valores de máximo e mínimo locais e comparar com os valores de f nos extremos do intervalo fechado.
©Luís Márcio Salge
Pag. 1 de 2
Cálculo I
Lista T1: Aplicações de Derivadas e Regra de LHôspital
Note que f(-3)=9, f(-2)=20, f(1)=-7, f(3)=45, então -1 é ponto de mínimo global com -7 valor de mínimo global equanto que 3 é ponto de máximo global com 45 valor de máximo global.

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de
f(x)=2x^2+4x2+x^2
no intervalo fechado [-1,5]. Como f é contínua em [-1,5], os candidatos a máximo e mínimo global são os pontos críticos (onde f'(x)=0) e os extremos do intervalo, x=-1 e x=5.

Passo 2

Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente. Seja
u(x)=2x^2+4x, v(x)=2+x^2
Então
u'(x)=4x+4, v'(x)=2x
e
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =(4x+4)(2+x^2)-(2x^2+4x)(2x)(2+x^2)^2
No numerador temos
(4x+4)(2+x^2)=4x^3+4x^2+8x+8, (2x^2+4x)(2x)=4x^3+8x^2,
logo
num=-4x^2+8x+8=-4l(x^2-2x-2r)
Portanto
f'(x)=0Long<=ftrightarrow x^2-2x-2=0

Passo 3

Resolvendo
x^2-2x-2=0 Longrightarrow x=2pmraiz4+82=1pmraiz3
Como -1<=1-raiz3<5 e -1<=1+raiz3<5, ambos são pontos críticos relevantes.

Passo 4

Agora calculamos f em x=-1, x=5, x=1-raiz3 e x=1+raiz3.
  1. Em x=-1:
f(-1)=2cdot(-1)^2+4(-1)2+(-1)^2 =2-43=-tfrac23approx -0,667
  1. Em x=5:
f(5)=2cdot25+4cdot52+25 =7027approx 2,593
  1. Em x=1-raiz3, note que (1-raiz3)^2=4-2raiz3, então
f(1-raiz3) =2(4-2raiz3)+4(1-raiz3)2+(4-2raiz3) =12-8raiz36-2raiz3 =1-raiz3approx -0,732
  1. Em x=1+raiz3, como (1+raiz3)^2=4+2raiz3,
f(1+raiz3) =2(4+2raiz3)+4(1+raiz3)2+(4+2raiz3) =12+8raiz36+2raiz3 =1+raiz3approx 2,732

Passo 5

Comparando os quatro valores:
-tfrac23approx -0,667, 1-raiz3approx -0,732, tfrac7027approx 2,593, 1+raiz3approx 2,732,
vemos que o menor é 1-raiz3 e o maior é 1+raiz3.

Resposta

O mínimo global ocorre em x=1-raiz3 com
fmin=1-raiz3,
e o máximo global ocorre em x=1+raiz3 com
fmax=1+raiz3

Exercícios relacionados