Mostre que
é Lipschitiziana com constante
, isto é,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função
é Lipschitziana com constante
. Isso significa que, para quaisquer dois números reais
e
, a diferença entre
e
é no máximo igual à diferença entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função Lipschitziana e usar algumas propriedades da função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função Lipschitziana. Uma função
é dita ser Lipschitziana com constante
se, para todos os
e
no domínio, a seguinte desigualdade é satisfeita:
No nosso caso, queremos mostrar que
funciona para
.
Passo 3
Para provar isso, vamos usar o teorema do valor médio, que nos diz que se
é diferenciável entre
e
, então existe um ponto
entre
e
tal que:
Aplicando isso à nossa função
, temos:
para algum
entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos tirar o valor absoluto de ambos os lados da equação:
Sabemos que o valor absoluto do seno é sempre no máximo 1, ou seja,
. Portanto:
Isso mostra que a diferença entre
e
nunca é maior que a diferença entre
e
.
Resposta
Assim, mostramos que
é uma função Lipschitziana com constante
, ou seja: