Mostre que f(x)=cos x é Lipschitiziana com constante k=1, isto é,
|f(x)-f(y)| <=|x-y|, forall x, y in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função f(x) = cos x é Lipschitziana com constante k = 1 . Isso significa que, para quaisquer dois números reais x e y , a diferença entre f(x) e f(y) é no máximo igual à diferença entre x e y . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função Lipschitziana e usar algumas propriedades da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função Lipschitziana. Uma função f é dita ser Lipschitziana com constante k se, para todos os x e y no domínio, a seguinte desigualdade é satisfeita:
|f(x) - f(y)| <= k |x - y|
No nosso caso, queremos mostrar que k = 1 funciona para f(x) = cos x .

Passo 3

Para provar isso, vamos usar o teorema do valor médio, que nos diz que se f é diferenciável entre x e y , então existe um ponto c entre x e y tal que:
f(x) - f(y) = f'(c)(x - y)
Aplicando isso à nossa função cos x , temos:
cos x - cos y = -sin(c)(x - y)
para algum c entre x e y .

Passo 4

Agora, vamos tirar o valor absoluto de ambos os lados da equação:
|cos x - cos y| = |sin(c)||x - y|
Sabemos que o valor absoluto do seno é sempre no máximo 1, ou seja, |sin(c)| <= 1 . Portanto:
|cos x - cos y| <= |x - y|
Isso mostra que a diferença entre cos x e cos y nunca é maior que a diferença entre x e y .

Resposta

Assim, mostramos que f(x) = cos x é uma função Lipschitziana com constante k = 1 , ou seja:
|cos x - cos y| <= |x - y|, forall x, y in R

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