Suponha que
e
são funções constantes e positivas e que
é uma função contínua. Se
e
são soluções de
mostre que
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
,
e
é contínua em
. São dadas duas soluções
e
, e queremos mostrar que
O conteúdo usado será a teoria de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, em particular a forma da solução geral da homogênea e a estabilidade assintótica.
Passo 2
Defina a função
Como
e
satisfazem ambas
subtraindo as equações obtemos que
satisfaz a equação homogênea associada:
Passo 3
Para resolver
consideramos a equação característica
As raízes são
Como
e
, temos
logo ambas as raízes têm parte real negativa,
.
Passo 4
A solução geral da homogênea é
ou, se as raízes forem complexas conjugadas
,
Em qualquer caso o fator exponencial decai a zero quando
, pois
. Portanto