Suponha que p e q são funções constantes e positivas e que f:(0, infty) R é uma função contínua. Se varphi1(t) e varphi2(t) são soluções de
y^prime prime+p y^prime+q y=f,
mostre que
lim t infty[varphi1(t)-varphi2(t)]=0

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + p,y' + q,y = f(t),
onde p>0, q>0 e f é contínua em (0,infty). São dadas duas soluções varphi1(t) e varphi2(t), e queremos mostrar que
limttoinftyl[varphi1(t)-varphi2(t)r]=0
O conteúdo usado será a teoria de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, em particular a forma da solução geral da homogênea e a estabilidade assintótica.

Passo 2

Defina a função
u(t)=varphi1(t)-varphi2(t)
Como varphi1 e varphi2 satisfazem ambas
y'' + p,y' + q,y = f(t),
subtraindo as equações obtemos que u satisfaz a equação homogênea associada:
u'' + p,u' + q,u = 0

Passo 3

Para resolver
u'' + p,u' + q,u = 0
consideramos a equação característica
r^2 + p,r + q = 0
As raízes são
r1,2 = -p pm raizp^2 - 4q2
Como p>0 e q>0, temos
r1 + r2 = -p < 0, r1 r2 = q > 0,
logo ambas as raízes têm parte real negativa, Re(r1,2)<0.

Passo 4

A solução geral da homogênea é
u(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t,
ou, se as raízes forem complexas conjugadas r=-tfrac p2pm ibeta,
u(t) = e^-tfrac p2,tl(Acos(beta t)+Bsin(beta t)r)
Em qualquer caso o fator exponencial decai a zero quando ttoinfty, pois Re(r1,2)<0. Portanto
limttoinftyu(t)=0

Resposta

limttoinftyl[varphi1(t)-varphi2(t)r]=0

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