Considere a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 .
Supondo
z=z(x, y)
, calcule
z_{x}
e
z_{y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
e supõe que z depende de x e y, ou seja z=z(x,y). As perguntas são:
  • Calcular \,z_{x}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\,.
  • Calcular \,z_{y}=\dfrac{\partial z}{\partial y}\,.
Informações relevantes dadas:
  • A relação entre x,y,z é \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
  • Quer-se as derivadas parciais de z em relação a x e a y, assumindo z=z(x,y).

Passo 2

Vamos diferenciar implicitamente a equação em relação a x, tratando y como constante (porque na derivada parcial em relação a x x varia). Antes de diferenciar, lembro a regra que vamos usar: se z=z(x,y) então, pelo cálculo de derivadas compostas,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z(x,y)^{2}\bigr)=2\,z(x,y)\,\frac{\partial z}{\partial x}=2z\,z_{x}.
Isto é a aplicação da regra da cadeia: a derivada de (\text{algo})^{2} é 2\cdot(\text{algo})\cdot derivada do “algo”.
Agora diferenciamos termo a termo a equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 porque y é constante nessa derivada parcial.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(z^{2})=2z\,z_{x} conforme a regra da cadeia.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(9)=0.
Portanto obtemos a igualdade
2x + 0 + 2z\,z_{x} = 0.

Passo 3

Isolando z_{x} na igualdade do passo anterior:
2x + 2z\,z_{x}=0
2z\,z_{x}=-2x
z_{x}=\frac{-2x}{2z}=\frac{-x}{z}.
Então a expressão para a derivada parcial em relação a x é
z_{x}=-\frac{x}{z}.
Explanação didática curta: a ideia é que a variação de z em x aparece por causa do termo z^{2}; ao derivar esse termo aparece um fator 2z multiplicando z_{x}, e daí vem a divisão por z ao isolar z_{x}.

Passo 4

Agora fazemos o mesmo para \dfrac{\partial z}{\partial y}. Diferenciando a equação em relação a y, tratando x como constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(z^{2})=2z\,z_{y}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(9)=0.
Isso dá
0 + 2y + 2z\,z_{y} = 0.
Isolando z_{y}:
2z\,z_{y}=-2y
z_{y}=\frac{-2y}{2z}=\frac{-y}{z}.

Passo 5

Observações importantes para a prova (coisa que costuma cair e é bom lembrar):
  • As fórmulas obtidas usam divisão por z. Logo, elas são válidas somente em pontos onde z\neq 0. Em pontos com z=0 (ou seja \,x^{2}+y^{2}=9, a “equador” da esfera) a derivada parcial pelo método direto falha porque \partial F/\partial z=2z=0 e o Teorema da Função Implícita não garante que z seja função diferenciável de x,y nessas vizinhanças.
  • Alternativa (verificação): se explicitar z como z=\pm\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} e derivar com regra da cadeia obtém-se
z_{x}=\mp\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} \quad\text{e}\quad z_{y}=\mp\frac{y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}},
e como \,z=\pm\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\, isso equivale às fórmulas compactas \,z_{x}=-x/z e \,z_{y}=-y/z (quando z\neq0).
Dica de prova: escreva claramente que na diferenciação parcial em x o y è tratado como constante, e vice-versa; faça o passo de isolar o z_{x} ou z_{y} mostrando a divisão por 2z.

Resposta

z_{x}=-\dfrac{x}{z}
z_{y}=-\dfrac{y}{z}

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