Considere a equação
Supondo
, calcule
e
Passo 1
O enunciado dá a equação
e supõe que
depende de
e
, ou seja
. As perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes dadas:
- A relação entre
é . - Quer-se as derivadas parciais de
em relação a e a , assumindo .
Passo 2
Vamos diferenciar implicitamente a equação em relação a
, tratando
como constante (porque na derivada parcial em relação a
só
varia). Antes de diferenciar, lembro a regra que vamos usar: se
então, pelo cálculo de derivadas compostas,
Isto é a aplicação da regra da cadeia: a derivada de
é
derivada do “algo”.
Agora diferenciamos termo a termo a equação
em relação a
:
-
. -
porque é constante nessa derivada parcial. -
conforme a regra da cadeia. -
.
Portanto obtemos a igualdade
Passo 3
Isolando
na igualdade do passo anterior:
Então a expressão para a derivada parcial em relação a
é
Explanação didática curta: a ideia é que a variação de
em
aparece por causa do termo
; ao derivar esse termo aparece um fator
multiplicando
, e daí vem a divisão por
ao isolar
.
Passo 4
Agora fazemos o mesmo para
. Diferenciando a equação em relação a
, tratando
como constante:
-
. -
. -
. -
.
Isso dá
Isolando
:
Passo 5
Observações importantes para a prova (coisa que costuma cair e é bom lembrar):
- As fórmulas obtidas usam divisão por
. Logo, elas são válidas somente em pontos onde . Em pontos com (ou seja , a “equador” da esfera) a derivada parcial pelo método direto falha porque e o Teorema da Função Implícita não garante que seja função diferenciável de nessas vizinhanças. - Alternativa (verificação): se explicitar
como e derivar com regra da cadeia obtém-se
e como
isso equivale às fórmulas compactas
e
(quando
).
Dica de prova: escreva claramente que na diferenciação parcial em
o
è tratado como constante, e vice-versa; faça o passo de isolar o
ou
mostrando a divisão por
.