Seja
Calcule
Passo 1
O enunciado fornece a relação implícita
O que é pedido: calcular
, ou seja, a derivada de
em relação a
considerando que
é uma função de
definida implicitamente por essa relação. Informações relevantes dadas:
- A equação que relaciona
e é . - O lado direito é uma constante (
). - Deve-se tratar
como ao derivar.
Passo 2
Ideia principal (conceitos usados):
- Quando
é função de , ao derivar qualquer termo que contenha aplica-se a regra da cadeia: a derivada de é . - Regra do produto: a derivada de um produto
é .
Vou usar essas regras para derivar membro a membro a equação em relação a.
Passo 3
Derivo cada termo do lado esquerdo em relação a
, lembrando que
depende de
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
usando a regra do produto (tomando e ):
- Derivada de
usando regra da cadeia (com ):
- Derivada do lado direito
é .
Passo 4
Juntando as derivadas colocadas acima, obtemos a equação derivada completa:
Passo 5
Agrupo os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 6
Fatorando
no lado esquerdo:
Assumindo
, isolo
:
Passo 7
Interpretação e checagem rápida com um ponto que satisfaça a equação original: por exemplo,
satisfaz
. Substituindo na fórmula:
Isso significa que, naquele ponto, a inclinação da curva implícita é
. Vai dar tudo certo na prova — só aplicar a mesma sequência de passos quando aparecer outra equação implícita.