Seja
x^{2}+x y+y^{2}=7 .
Calcule
\frac{d y}{d x} .

Passo 1

O enunciado fornece a relação implícita
x^{2}+x y+y^{2}=7.
O que é pedido: calcular \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x considerando que y é uma função de x definida implicitamente por essa relação. Informações relevantes dadas:
  • A equação que relaciona x e y é \;x^{2}+x y+y^{2}=7.
  • O lado direito é uma constante ( 7).
  • Deve-se tratar y como y(x) ao derivar.

Passo 2

Ideia principal (conceitos usados):
  • Quando y é função de x, ao derivar qualquer termo que contenha y aplica-se a regra da cadeia: a derivada de y é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Regra do produto: a derivada de um produto u(x)\,v(x) é u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    Vou usar essas regras para derivar membro a membro a equação em relação a x.

Passo 3

Derivo cada termo do lado esquerdo em relação a x, lembrando que y depende de x:
  • Derivada de \;x^{2} em relação a x é \;2x.
  • Derivada de \;x y usando a regra do produto (tomando u=x e v=y(x)):
\frac{d}{dx}(x y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot\frac{d}{dx}(y)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
  • Derivada de \;y^{2} usando regra da cadeia (com u=y(x)):
\frac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot\frac{dy}{dx}=2y\,y'.
  • Derivada do lado direito \;7 é 0.

Passo 4

Juntando as derivadas colocadas acima, obtemos a equação derivada completa:
2x + (y + x y') + 2y\,y' = 0.

Passo 5

Agrupo os termos que contêm y' e os que não contêm:
2x + y + x y' + 2y\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad x y' + 2y\,y' = -(2x + y).

Passo 6

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\,(x + 2y) = -(2x + y).
Assumindo x+2y\neq0, isolo y':
y' = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida com um ponto que satisfaça a equação original: por exemplo, (x,y)=(1,2) satisfaz \;1^{2}+1\cdot2+2^{2}=1+2+4=7. Substituindo na fórmula:
y'(1,2) = -\dfrac{2\cdot1 + 2}{1 + 2\cdot2} = -\dfrac{4}{5}.
Isso significa que, naquele ponto, a inclinação da curva implícita é -\tfrac{4}{5}. Vai dar tudo certo na prova — só aplicar a mesma sequência de passos quando aparecer outra equação implícita.

Resposta

y' = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}

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