Para
mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é obtida compondo uma função de uma variável com a função . - Para calcular as derivadas parciais de
será necessário usar a regra da cadeia. - Pressupõe-se que
é diferenciável (tem derivada ) para que as derivadas parciais de existam.
Passo 2
Vou explicar a regra da cadeia que vamos usar, de forma bem clara e passo a passo.
Se
com
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é dada pela regra da cadeia:
Aqui:
-
é a derivada de em relação ao seu argumento real; ou seja, . -
é a derivada parcial de em relação a .
A mesma fórmula vale para a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Aplicando isso ao caso concreto, primeiro defino
Calculo as derivadas parciais de
:
Expliquei cada passo: derivada de
em relação a
é
;
é considerada constante quando derivamos em relação a
, e simetricamente para a derivada em relação a
.
Passo 4
Agora uso a regra da cadeia com esses resultados. Para a derivada parcial de
em
temos:
E para a derivada parcial em
:
Observe que em ambas aparece o mesmo fator
, porque
depende de
e
apenas através da combinação
.
Passo 5
Substituo essas expressões na combinação pedida:
Factorizo o termo comum
:
Passo 6
Mas
(produto comutativo), logo
Assim a combinação pedida é identicamente zero para todo
.
Passo 7
Para fixar a ideia, veja dois exemplos rápidos:
- Se
então . Calcula-se e . Então . - Se
então e , . Novamente .
Esses exemplos mostram que o cálculo feito vale para qualquer
diferenciável.
Passo 8
Interpretação geométrica curta (só para motivar): funções da forma
são radiais (dependem apenas da distância ao origem). A expressão
é a derivada direcional associada a rotações ao redor da origem; como
é invariante por rotação, essa derivada deve ser zero — o que acabamos de verificar por cálculo.