Seja
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que se pede: mostrar que
Informações relevantes fornecidas:
-
é dada como composição de uma função unidimensional com a função de duas variáveis . - Está implícito que
é diferenciável no argumento considerado (para que as derivadas parciais façam sentido). - A restrição no domínio é
(para que esteja bem definida).
Passo 2
Ideia matemática que vamos usar (cadeia / regra da cadeia para derivadas parciais).
Se uma função depende de
somente através de uma quantidade intermediária
, isto é,
Se uma função
então a regra da cadeia para derivadas parciais dá
Aqui
significa a derivada usual de
em relação ao seu argumento, avaliada em
. A razão dessa fórmula é que, ao variar
(mantendo
fixo),
varia porque varia
, e a variação de
é a derivada de
vezes a variação de
.
No nosso caso, definimos a função intermediária
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
É útil reescrever como
. Agora derivamos tratando a outra variável como constante.
É útil reescrever
Derivada parcial em relação a
(com
constante):
Derivada parcial em relação a
(com
constante):
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia (Passo 2) usando as derivadas de
do Passo 3.
Substituindo e suas derivadas, obtemos
Substituindo
Aqui cada termo
é a mesma função escalar, avaliada no mesmo argumento
.
Passo 5
Formar a combinação
e simplificar.
Substituindo as expressões do Passo 4:
Somando os dois resultados:
Fatorando
e somando os parênteses:
Passo 6
Concluímos que, sob a hipótese natural de diferenciabilidade de
,
para todo
com
. Boa! Isso mostra exatamente o que o enunciado pedia.