Seja
u(x, y)=f\left(\frac{y}{x}\right), \quad x \neq 0
Mostre que
x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y)=f\!\left(\frac{y}{x}\right),\qquad x\neq 0.
O que se pede: mostrar que
x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • u é dada como composição de uma função unidimensional f com a função de duas variáveis (x,y)\mapsto \dfrac{y}{x}.
  • Está implícito que f é diferenciável no argumento considerado (para que as derivadas parciais façam sentido).
  • A restrição no domínio é x\neq 0 (para que \dfrac{y}{x} esteja bem definida).

Passo 2

Ideia matemática que vamos usar (cadeia / regra da cadeia para derivadas parciais).
Se uma função u depende de (x,y) somente através de uma quantidade intermediária t(x,y), isto é,
u(x,y)=f\big(t(x,y)\big),
então a regra da cadeia para derivadas parciais dá
\frac{\partial u}{\partial x}=f'\big(t(x,y)\big)\,\frac{\partial t}{\partial x}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=f'\big(t(x,y)\big)\,\frac{\partial t}{\partial y}.
Aqui f'(t) significa a derivada usual de f em relação ao seu argumento, avaliada em t=t(x,y). A razão dessa fórmula é que, ao variar x (mantendo y fixo), u varia porque varia t, e a variação de u é a derivada de f vezes a variação de t.
No nosso caso, definimos a função intermediária
t(x,y)=\frac{y}{x}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de t(x,y)=\dfrac{y}{x}.
É útil reescrever t como t(x,y)=y\cdot x^{-1}. Agora derivamos tratando a outra variável como constante.
Derivada parcial em relação a x (com y constante):
\frac{\partial t}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\big(y x^{-1}\big) = y\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{y}{x^{2}}.
Derivada parcial em relação a y (com x constante):
\frac{\partial t}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\big(y x^{-1}\big) = x^{-1} = \frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia (Passo 2) usando as derivadas de t do Passo 3.
Substituindo t(x,y)=\dfrac{y}{x} e suas derivadas, obtemos
\frac{\partial u}{\partial x} = f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right),
\frac{\partial u}{\partial y} = f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{1}{x}.
Aqui cada termo f'\!\left(\dfrac{y}{x}\right) é a mesma função escalar, avaliada no mesmo argumento \dfrac{y}{x}.

Passo 5

Formar a combinação x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} e simplificar.
Substituindo as expressões do Passo 4:
x\frac{\partial u}{\partial x} = x\cdot f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) = f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x}\right),
y\frac{\partial u}{\partial y} = y\cdot f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right) = f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{y}{x}\right).
Somando os dois resultados:
x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} = f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x}\right) + f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{y}{x}\right).
Fatorando f'\!\left(\dfrac{y}{x}\right) e somando os parênteses:
x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} = f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x}+\frac{y}{x}\right) = f'\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot 0 = 0.

Passo 6

Concluímos que, sob a hipótese natural de diferenciabilidade de f,
x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0
para todo (x,y) com x\neq 0. Boa! Isso mostra exatamente o que o enunciado pedia.

Resposta

x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0

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