Determine o inteiro n para que a equação abaixo seja exata.
n x^2 cos y+y^2+(2 x y-x^n sen y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
n x^2cos y + y^2 + l(2xy - x^nsen yr)dydx=0
e pede o inteiro n tal que ela seja exata. Para isso, vamos usar o critério de exatidão: se escrevermos
M(x,y)=n x^2cos y + y^2, N(x,y)=2xy - x^nsen y,
a equação é exata se
partial Mpartial y=partial Npartial x

Passo 2

Calculemos partial M/partial y.
partial Mpartial y =partialpartial yl(n x^2cos yr) +partialpartial yl(y^2r) =-n x^2sen y + 2y

Passo 3

Agora calculemos partial N/partial x.
partial Npartial x =partialpartial x(2xy) -partialpartial xl(x^nsen yr) =2y - n x^,n-1sen y

Passo 4

Para exatidão igualamos
-n x^2sen y + 2y ;=; 2y - n x^,n-1sen y
Cancelando 2y de ambos os lados, fica
-n x^2sen y = -n x^,n-1sen y ;Long<=ftrightarrow; n,x^2sen y = n,x^,n-1sen y

Passo 5

Essa igualdade vale para todo x,y se e somente se um dos casos ocorrer:
  1. n=0, pois então ambos os lados são zero;
  2. nneq0 e x^2=x^,n-1 para todo xneq0, o que implica 2=n-1 e daí n=3.

Resposta

n=0 ou n=3.

Exercícios relacionados