Considere a equação x1 a+y1 b+z1 c=x2 a+y2 b+z2 c, mostre que:
b) Se a, b, e c são L.D., então não podemos concluir que x1=x2, y1=y2 e z1=z2.

Passo 1

Vamos analisar a equação . O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente sobre vetores lineares e independência linear. Para resolver isso, precisamos entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como isso afeta as coeficientes das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para trazer todos os termos para um lado:
(x1 - x2) a + (y1 - y2) b + (z1 - z2) c = 0
Isso significa que uma combinação linear dos vetores , e resulta no vetor nulo.

Passo 3

Agora, lembramos que vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação não trivial entre eles onde os coeficientes não são todos zero.

Passo 4

Como , e são linearmente dependentes, isso significa que a única solução para a equação acima não precisa obrigatoriamente que , e . Pode haver outras combinações de e que satisfaçam a equação sem que todos os coeficientes sejam iguais.

Passo 5

Em contraste, se os vetores fossem linearmente independentes, a única solução seria que todos os coeficientes fossem zero, ou seja, , e . Mas, como são dependentes, isso não acontece.

Resposta

Portanto, se , e são linearmente dependentes, não podemos concluir que , e .

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