Discuta em função de m o sistema:
a) cm x-y+2 z=1 2 x+y+z=2 5 x+2 y+5 z=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão quer é que a gente analise como o sistema de equações depende do valor de m x - y + 2 z = 1 2 x + y + z = 2 5 x + 2 y + 5 z = 7 . Temos um sistema com três equações e três incógnitas ( , e ):
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sistemas lineares e determinantes. A ideia é verificar para quais valores de o sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada:
m & -1 & 2 & | & 1 2 & 1 & 1 & | & 2 5 & 2 & 5 & | & 7
A gente vai usar o método da regra de Cramer, que usa determinantes para resolver sistemas lineares. Para isso, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 3

A matriz dos coeficientes é:
A = m & -1 & 2 2 & 1 & 1 5 & 2 & 5
Vamos calcular o determinante de det(A) = m cdot (1 cdot 5 - 1 cdot 2) - (-1) cdot (2 cdot 5 - 1 cdot 5) + 2 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot 5) , que é dado por:
det(A) = m cdot (5 - 2) - (-1) cdot (10 - 5) + 2 cdot (4 - 5)
Simplificando cada termo:
det(A) = m cdot 3 + 1 cdot 5 + 2 cdot (-1)
det(A) = 3m + 5 - 2
det(A) = 3m + 3

Passo 4

Agora, vamos analisar o valor do determinante 3m + 3 = 0 implies 3m = -3 implies m = -1 :
  • Se , o sistema tem uma única solução.
  • Se , precisamos verificar se o sistema tem nenhuma solução ou infinitas soluções.
Vamos resolver para encontrar o valor de que torna o determinante zero:

Passo 5

Então, temos duas situações:
  1. Quando :
    • O sistema tem uma única solução.
  2. Quando :
    • Precisamos verificar se as equações são dependentes ou inconsistentes.
Vamos analisar o caso quando .

Passo 6

Substituindo A = -1 & -1 & 2 2 & 1 & 1 5 & 2 & 5 na matriz dos coeficientes:
-1 & -1 & 2 & | & 1 2 & 1 & 1 & | & 2 5 & 2 & 5 & | & 7
E a matriz aumentada:
Vamos aplicar o escalonamento para ver se as equações são consistentes.

Passo 7

Primeiro, multiplicamos a primeira linha por -1 para facilitar:
1 & 1 & -2 & | & -1 2 & 1 & 1 & | & 2 5 & 2 & 5 & | & 7
Agora, vamos zerar o primeiro elemento das linhas 2 e 3:
  • Linha 2: Segunda linha - 2 × primeira linha:
2 - 2 times 1 = 0 1 - 2 times 1 = -1 1 - 2 times (-2) = 5 2 - 2 times (-1) = 4
  • Linha 3: Terceira linha - 5 × primeira linha:
5 - 5 times 1 = 0 2 - 5 times 1 = -3 5 - 5 times (-2) = 15 7 - 5 times (-1) = 12
A matriz fica assim:
1 & 1 & -2 & | & -1 0 & -1 & 5 & | & 4 0 & -3 & 15 & | & 12

Passo 8

Agora, vamos simplificar a terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 3 e subtraímos da terceira linha para zerar o 0, -3, 15, | 12 :
  • 3 × segunda linha:
0 - 0 = 0 -3 - (-3) = 0 15 - 15 = 0 12 - 12 = 0
  • Terceira linha - (3 × segunda linha):
1 & 1 & -2 & | & -1 0 & -1 & 5 & | & 4 0 & 0 & 0 & | & 0
A matriz final fica:

Passo 9

Chegamos a uma equação redundante (toda a terceira linha é zero), então o sistema é compatível indeterminado quando . Isso significa que existem infinitas soluções para esse valor de .

Resposta

Para o sistema dado:
  • Quando , o sistema tem uma única solução.
  • Quando , o sistema possui infinitas soluções.

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