Considere a equação
, mostre que:
a) Se
, e
são L.I. então
e
;
a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma equação com combinações lineares de três vetores
,
e
. A gente precisa mostrar que, se esses três vetores são linearmente independentes (ou L.I.), então os coeficientes das combinações lineares devem ser iguais, ou seja,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de linear independência e manipular a equação para comparar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores
,
e
serem linearmente independentes. Isso quer dizer que a única solução para a equação
é
. Ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Agora, vamos pegar a equação que o exercício nos dá:
Nosso objetivo é mostrar que
,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos rearranjar a equação para trazer todos os termos para um lado:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos chamar
,
e
. A equação fica:
Passo 6
Como sabemos que
,
e
são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero:
Passo 7
Substituindo de volta os valores de
,
e
, temos:
Resposta
Portanto, se
,
e
são linearmente independentes, então
,
e
.