Considere a equação x1 a+y1 b+z1 c=x2 a+y2 b+z2 c, mostre que:
a) Se a, b, e c são L.I. então x1=x2, y1=y2 e z1=z2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma equação com combinações lineares de três vetores a, b e c. A gente precisa mostrar que, se esses três vetores são linearmente independentes (ou L.I.), então os coeficientes das combinações lineares devem ser iguais, ou seja, x1=x2, y1=y2 e z1=z2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de linear independência e manipular a equação para comparar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores a, b e c serem linearmente independentes. Isso quer dizer que a única solução para a equação
k1 a + k2 b + k3 c = 0
é k1 = k2 = k3 = 0. Ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Agora, vamos pegar a equação que o exercício nos dá:
x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c
Nosso objetivo é mostrar que x1=x2, y1=y2 e z1=z2.

Passo 4

Primeiro, vamos rearranjar a equação para trazer todos os termos para um lado:
x1 a + y1 b + z1 c - x2 a - y2 b - z2 c = 0
Isso simplifica para:
(x1 - x2) a + (y1 - y2) b + (z1 - z2) c = 0

Passo 5

Agora, vamos chamar k1 = x1 - x2, k2 = y1 - y2 e k3 = z1 - z2. A equação fica:
k1 a + k2 b + k3 c = 0

Passo 6

Como sabemos que a, b e c são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero:
k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0

Passo 7

Substituindo de volta os valores de k1, k2 e k3, temos:
x1 - x2 = 0 Rightarrow x1 = x2
y1 - y2 = 0 Rightarrow y1 = y2
z1 - z2 = 0 Rightarrow z1 = z2

Resposta

Portanto, se a, b e c são linearmente independentes, então x1=x2, y1=y2 e z1=z2.

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