Considere a reta
r: x-17=2-y2=2 z+10
O plano que é ortogonal a r e passa pelo ponto A=(9,1,2) é:
b) pi: 7 x-2 y+z2=-62

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o plano que é perpendicular à reta e que passa pelo ponto . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o vetor diretor da reta e como usá-lo para encontrar o vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta x - 17 = 2 - y2 = 2z + 10 . A equação da reta está dada de uma forma que podemos extrair facilmente os coeficientes que definem a direção:
d = 7 -2 12
Observando essa forma, percebemos que o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor da reta, sabemos que o vetor normal n = 7 -2 12 do plano que é perpendicular à reta será paralelo a esse vetor diretor. Portanto, o vetor normal do plano também será:

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto 7(x - 9) - 2(y - 1) + 12(z - 2) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
7x - 63 - 2y + 2 + 12z - 1 = 0
Substituindo 7x - 2y + 12z - 62 = 0 e 14x - 4y + z - 124 = 0 :
7x - 2y + 12z - 62 = 0
Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Dividindo por 2 para simplificar:

Resposta

O plano que é ortogonal à reta pi: ; 7x - 2y + z2 = -62 e passa pelo ponto é:

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