• (Retendo 4 casas decimais, se necessário): Seja a matriz
A=[lll 5 & 2 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 2 ],
Verifique se A satisfaz as condições de decomposição LU (Teorema LU).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e precisamos verificar se ela pode ser decomposta em duas matrizes, (inferior) e (superior), seguindo o Teorema de Decomposição LU. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre métodos de decomposição de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a decomposição LU e aplicar o processo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a decomposição LU consiste em escrever a matriz A = LU como o produto de uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Ou seja:
Onde tem 1s na diagonal principal e zeros acima, e tem zeros abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar a decomposição. A matriz A = 5 & 2 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 2 é:
U = 5 & 2 & 3 0 & * & * 0 & * & *
Primeiro, atribuímos a primeira linha de L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & * & 1 como a primeira linha de :
E a primeira coluna de é obtida dividindo os elementos abaixo da diagonal por :

Passo 4

Agora, vamos calcular os elementos restantes de U22 = 1 - ( 35 times 2 ) = 1 - 65 = -15 . Para a segunda linha de U23 = 4 - ( 35 times 3 ) = 4 - 95 = 115 , subtraímos o múltiplo da primeira linha de U = 5 & 2 & 3 0 & -15 & 115 0 & * & * pela segunda linha:
Atualizando :

Passo 5

Em seguida, preenchemos a terceira linha de L32 = 1 - ( 15 times 2 )-15 = 1 - 25-15 = 35-15 = -3 . Usamos o elemento U33 = 2 - ( 15 times 3 ) - ( -3 times 115 ) = 2 - 35 + 335 = 2 + 305 = 8 para isso:
U = 5 & 2 & 3 0 & -15 & 115 0 & 0 & 8 , L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1
Agora, calculamos :
Atualizando e :

Resposta

Sim, a matriz L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1 , U = 5 & 2 & 3 0 & -15 & 115 0 & 0 & 8 satisfaz as condições para decomposição LU. A decomposição fica:

Exercícios relacionados