Sejam u=(0,1,1) v=(2,1,0), w=(1,0,1). Mostre que u, v, w é uma base de IR^3 e determine as coordenadas de a=(3,2,2) nessa base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional R^3: u = (0,1,1), v = (2,1,0) e w = (1,0,1). A missão aqui é mostrar que esses vetores formam uma base desse espaço e, depois, descobrir as coordenadas do vetor a = (3,2,2) nessa base. Para isso, vamos precisar entender sobre bases, independência linear e como representar vetores em uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em R^3, uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como combinação linear desses três vetores, e que nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Para verificar se u, v, w é uma base, precisamos confirmar se eles são linearmente independentes. Uma forma fácil de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com u, v e w como colunas:
A = 0 & 2 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Agora, calculamos o determinante de A:
det(A) = 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 2 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = 0 - 2(1) + 1(-1) = -2 -1 = -3
Como det(A) = -3 neq 0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores são linearmente independentes e estamos no espaço R^3 com exatamente três vetores, isso confirma que u, v, w é uma base de R^3.

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas de a = (3,2,2) nessa base. Isso significa que queremos encontrar escalares c1, c2 e c3 tais que:
c1 u + c2 v + c3 w = a
Substituindo os vetores:
c1 011 + c2 210 + c3 101 = 322
Isso nos dá o sistema de equações:
0c1 + 2c2 + 1c3 = 3 1c1 + 1c2 + 0c3 = 2 1c1 + 0c2 + 1c3 = 2

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
c1 + c2 = 2 Rightarrow c1 = 2 - c2
Da terceira equação:
c1 + c3 = 2 Rightarrow c3 = 2 - c1 = 2 - (2 - c2) = c2
Agora, substituímos c1 e c3 na primeira equação:
0(2 - c2) + 2c2 + c2 = 3 Rightarrow 3c2 = 3 Rightarrow c2 = 1
Então:
c1 = 2 - 1 = 1 c3 = 1

Resposta

As coordenadas de a = (3,2,2) na base u, v, w são (1, 1, 1).

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