Sejam . Mostre que é uma base de e determine as coordenadas de nessa base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional : , e . A missão aqui é mostrar que esses vetores formam uma base desse espaço e, depois, descobrir as coordenadas do vetor nessa base. Para isso, vamos precisar entender sobre bases, independência linear e como representar vetores em uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses três vetores, e que nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 3
Para verificar se é uma base, precisamos confirmar se eles são linearmente independentes. Uma forma fácil de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.